II
17
5. 关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
a)
B
III
一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成 瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直 线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。
18
A B
I II C
b)
III 瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它 们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于 有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰 不共线，体系为几何不变且无多余约束（见 图b）。
一、复杂链杆与复杂铰
1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简
单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。
复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆
称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
35
2. 简单铰与复杂铰 简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。
19
A I II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
20
6. 装配格式和装配过程
基本装配（建造、施工）格式
把一个节点固定到一个刚片上；
把一个刚片固定到另一个刚片上；
把两个刚片固定到另一个刚片上。
9
3
I
解: 用混合公式计算。 m=1 j=5 g=2 b=10
W (3 1 2 5) (3 2 10)
13 16 3
41
例2-3-5 求图示体系的计算自由度。
1 2 4 A 3 B 5 6 E 7 C 8 D 10 11
9
I
II
12
解: 用混合公式计算。 m=2 j=4 h=1 b=12
14
2. 规律2—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的 一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多 余约束。 II 被约束对象：刚片 I，II 1 A 提供的约束：铰A及链杆1
II
A 1
I
铰A也可以是瞬铰，如左图示。
15
I
3. 规律3—— 三个刚片之间的连接
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同 一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。 B 被约束对象：刚片 I，II，III II A C I
5
y
y
x
A
x
y x
刚片自由度
φ
y
结点自由度
x
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参 数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为： 1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。
1 5
III（基础）
6
31
思考题 ： 试分析下图示各体系的几何构造组成。
a）
b）
32
c）
d）
e）
f）
33
小结：
1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及 所提供的约束。
2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束， 除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。 3）注意约束的等效替换。
34
§2-3 平面体系的计算自由度
提供的约束：铰A、B、C
B I A II C
III
III
刚片I, II——用铰A连接 刚片I, III——用铰B连接 刚片II,III——用铰C连接
16
4. 规律4—— 两个刚片之间的连接
两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则 组成几何不变体系且无多余约束。 A I 被约束对象：刚片 I，II 1 2 3 提供的约束：链杆1，2，3
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称
为复杂铰。 若刚片数为m，则该复杂铰相当与 (m-1)个简单 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。
3. 封闭刚架
有三个多 余约束 无多余 约束
36
二、计算自由度
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
W 3 2 (3 1 2 1 5) 6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解： j=5 b=10
W 2 5 10 0
A
1
B 4
2 8 C
9 6
3
D
5
7 E 10
40
例2-3-4 求图示体系的计算自由度。
A 2 1 B C 4 5 6 D 7 8 E 10
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。 A I B II C III
1
2
3
解： m=3 g=0 h=3 b=3
W 3 3 (2 3 3) 9 9 0
39
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II 1 解： m=2 g=1 2 3
4
h=1 b=5
5
3）刚性连结
相当于三个约束
看作一个刚片
9
5 多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。
链杆1、2能减少点A的两个 链杆1、2和3共减少点 A 两 自由度，因此链杆1和2都 个自由度，因此三根链杆 是非多余约束。 中只有两根是非多余约束， 有一个是多余约束。
10
6 瞬变体系
11
7 瞬铰（虚铰）
一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。
复杂铰 与三个或三个以上刚片连结的铰称为
复杂饺。
8
y x
II 2
1
I
y
III
II
3 2 I 1
x
y
x, y , 1 , 2
y
x
铰约束
2(3-1)=4
x
x, y , 1 , 2 , 3
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3 m (3 g 2 h b )
m—刚片数； g—简单刚结数；
h—简单铰数；b—简单链杆数
在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
37
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
装配过程 （a）从基础出发进行装配：由近及远 、由小到大逐个装配，直至整个体系
21
桁架的装配顺序
22
组合节点
多跨梁的装配
刚架的装配
23
（b）从内部刚片进行装配：先组成扩大的基 本刚片，再与地基相连。
扩大刚片与地基通过简支方式相连。
24
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；
要区分被约束的刚片及提供的约束；
y y
x
x,
φ
x x
链杆约束
3 2 1
y
x, y , 1 , 2 , 3
x
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简 单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。 n=3
( 2 n 3) 2 3 3 3
2）铰 简单铰 只与两个刚片连结的铰称为简单铰。
在被约束对象之间找约束；
除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
例2-1 试分析图a)所示体系的几何构造。
25
解：
首先，三角形ADE和 AFG是两个无多余约束 刚片，以I、II表示；基 础为刚片III；
然后，I和III由链杆1、2连接，II和III由链杆3、4连 接，分别相当于两个铰B、C，I与II由铰A相连，三 个铰不共线；
27
结构的改进
1
I 2 II（基础）
3
例2-2。
28
例2-3。
29
例2-2-3 试分析图示体系的几何构造。
3 I B 1 A 6 III 2 C
II
解： 4 5 刚片I、 II用链杆1、2相连， （瞬铰A)；
刚片I、 III用链杆3、4相连， （瞬铰B)； 刚片II、III用链杆5、6相连， （瞬铰C)。
最后应用基本规律：三个刚片由三个不共线的铰相 连，为无多余约束几何不变体系。
注意步骤：先区分刚片和约束，然后应用基本规律进行分析
26
例2-1b 试分析图示体系的几何构造。
解： 先把折线杆AC和BD用虚线表示的链杆来替换 ，则T形刚片CDE与地基用链杆1、2、3相连。
如三杆共点，则体系瞬变；否则为无多余约 束的几何不变体系。
常变体系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成
为几何不变的体系称为瞬变体系。
o
A B
C
瞬变体系
B1
几何可变体系不能作为结构来使用。
4
2. 刚片
由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一 根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在 几何构造分析中称为刚片。
3. 自由度
体系在平面内运动时，可以独立变化的几何 参数的数目称为自由度。 1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确 定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何 参数x、y。
A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无 穷线上，故为瞬变体系。
30
例2-2-4 试分析图示体系的几何构造。 解： 刚片I、II用链杆1、2相连 （瞬铰A) 刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B) I B C 4 2 A