三、简答题1、说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。
答：静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为电位函数(3 分)。
静电场中，电位函数的定义为grad ϕϕ=-=-∇E (3 分) 2、什么叫集肤效应、集肤深度？试写出集肤深度与衰减常数的关系式。
高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107S/m 量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。
电磁波往往在微米量级的距离内就衰减得近于零了。
因此高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。
电磁波场强振幅衰减到表面处的1/e 的深度，称为集肤深度(穿透深度)， 以δ表示。
集肤深度 001E e E eαδ-=⋅ ⇒ 1δα=3、说明真空中电场强度和库仑定律。
答：电场强度表示电场中某点的单位正试验电荷所受到的力，其定义式为：()()r r q=F E (3 分)。
库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：'20=4Rq qR e πεF (3 分)。
4、用数学式说明梯度无旋。
答：x y z x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e (2 分) ()x y z x y z x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇⨯∇=∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e (2 分) 222222()()()x y z z y z y x z x z x y x yϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂=---+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e (2 分)0=()0ϕ∴∇⨯∇=5、什么是真空中的高斯定理?请利用高斯定理求解下面问题：假设真空中有半径为a 的球形带电体，电荷总量Q 均匀分布在球体内，求任意点的电场强度。
0()SQE r dS ε=⎰分析：电场方向垂直于球面。
电场大小只与r 有关。
在球外区域：r>a()SQE r dS ε=⎰2()(4)r QE r r πε⇒⋅=a 204r Q E r πε⇒=⋅a在球内区域：r<a由334Q Q V a ρπ== 因为0'()S Q E r dS ε=⎰得 32043()(4)r r E r r ρππε⋅⋅=a 30034r r r Qr E aρεπε⇒==⋅a a 6、试解释坡印亭矢量的物理意义？答：坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(3分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)7、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？8、什么是高斯定理?在电场具有什么特征时可以用它来求解静电场问题?.S d D s⎰⋅=q当电场具有对称性质时，可以用来求解静电场。
9、波的圆极化(写出波的方程及与x 轴夹角表达式)若电场的水平分量E x 与垂直分量E y 振幅相等，相位相差±90°，合成电场为圆极化波。
E=2y 2x E E + =Em=常数与x 轴夹角tanα=ExEy=tanωt10、在良导体内电场强度E 等于零，磁感应强度是否也为零？为什么？ 可以不为零。
（2分）因为E=0，只表明磁通及磁场的变化率为零，但磁感应强度可为任意常数。
（3分）11、如何由电位求电场强度?试写出直角坐标系下的表达式。
答：即电场强度是电位梯度的负值。
表达式：()x y z E e e e x y z∂ϕ∂ϕ∂ϕϕ∂∂∂=-∇=-++ 12、在静电场中，两点之间的电位差与积分路径有关吗？试举例说明。
无关。
（2分）如图所示，取电场强度积分路径为⎰⎰⋅=⋅=baacbab l E l E U d d (1分)⎰⎰⎰=⋅+⋅=⋅acbdabdaacbl E l E l E 0d d d 又(1分)⎰⎰⎰⋅=-=⋅∴acbadbbdal E l E l E d d d (1分)13、说明矢量场的环量和旋度。
矢量A 沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分为环量，lA dl Γ=⋅⎰(3 分)。
矢量A 在M 点的旋度：方向为M 点A 的最大环量面密度最大的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量：rot A =∇⨯A (3 分)14、写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。
答：1212()0n n B B ⋅-==n B B 或； (3 分)12()S ⨯-=n H H J (3 分)15、试解释坡印亭矢量的物理意义？坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(2分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)16、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？ 体电荷密主是单位体积中的电荷量,所以是电荷的体密度.(2分)体电流密度是垂 直于电荷运动方向上单位面积上流过的电流,所以不是电流的体密度。
（4分）四、计算题1、已知空气填充的平板电容器内的电位分布为2ax b ϕ=+，求与其相应的电场及其电荷分布。
解：由E =-∇ϕ (2 分) 已知ϕ=+2ax b得2E a =-∇ϕ=-x ax (2 分) 根据高斯定理：0.E ∇=ρε得 (2 分) 电荷密度为：00.E ==∇-2a ρεε (2 分) (1 分)2、真空中有两个点电荷，一个-q 位于原点，另一个q/2位于(a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。
解： 两个点电荷－q,+q/2在空间产生的电位：22222201(,,)4()x y z x y z x a y z ⎡⎤ϕ=⎢πε⎢++-++⎣ (2 分)令(,,)0x y z ϕ= 得方程： (2 分)2222220104()x y z x a y z ⎡⎤=⎢πε⎢++-++⎣ (1 分)方程化简得222242()33x a y z a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ (2 分)由此可见，零电位面是以点（4 a/3,0,0）为球心，2 a/3为半径的球面。
(1 分) (1 分)6、相互成直角的两个导电平面构成的系统，在x =1,y =1处放置一个点电荷q ，试用镜像法确定镜像电荷位置和大小，并求x =2,y =2处的电位。
(设无穷远为电位参考点)。
镜像电荷位置为-q(-1,1),-q(1,-1),q(-1,-1)由点电荷的电位ϕ=R4q0πε可得 x=2,y=2处电位ϕ=04q πε()10223121-+7、已知无源自由空间中的电场强度矢量sin()y m E E t kz ω=-a ， 求 (1) 由麦克斯韦方程求磁场强度H ；(2) 证明w/k 等于光速；(3) 求坡印亭矢量的时间平均值。
解：（1）将E 表示为复数形式，有 a -=-jkz y m E jE e (2 分)由复数形式的麦克斯韦方程，得11a a --=-∇⨯=-=jkz jkz mx m x kE H E kE e je j j ωμωμωμ磁场H 的瞬时表达式为()sin()a =--mxkE H t t kz ωωμ (2 分)（2）由于是无源自由空间，根据无源自由空间的波动方程得：220020∂∇-=∂EE tμε (2 分)由于E 只有y 分量，得y 分量的标量波动方程22220022220∂∂∂∂++-=∂∂∂∂y y y y E E E E xyztμε (1 分)由于22∂∂y E x 、22∂∂y E y 为0，得2200220∂∂-=∂∂y y E E z t με对正弦电磁场，上方程可以写成2200()()0-=y y jk E j E μεω 得==C kω(1 分)（3）坡印廷矢量的时间平均值为11Re[]Re[()(.())]22a a *-=⨯=-⨯-jkz jkz m av y m x kE S E H jE e j e ωμ (3 分)201.2a =mz kE ωμ (1 分)8、理想介质中平面电磁波的电场强度矢量为8()5cos2(10) (V/m)x E t t z π=-a 试求： (1) 介质及自由空间中的波长；(2) 已知介质0μμ=，0r εεε=，确定介质的r ε； (3) 求磁场强度矢量的瞬时表达式。
解： (1)介质中2212ππλ===πk （m ） (2 分) 自由空间中80802310310π⨯λ======c k f （m ） (2 分)(2) 由于=k 故 22282282(2)(310)9(210)π⋅⨯ε===ωπ⨯r k c (3 分) (3)由于0ηηππ=⨯1==120=403 (2 分) 磁场强度的瞬时表达式80()cos 2(10)myE t t z πη=-H a 80cos 2(10)40myE t z ππ=-a 85cos 2(10)40yt z ππ=-a 81cos 2(10)8y t z ππ=-a (A/m)9、空气中的电场为()2() jkz x y E t j e -=+a a 的均匀平面波垂直投射到理想导体表面（z=0）,求反射波的极化状态及导体表面的面电流密度。
解：对理想导体，有20,1,0T ηΓ==-= (1分) 所以，此时反射波写为：()2() jkz r x y E t j e =-+a a (1分)由此得知：反射波沿-z 方向传播，反射波两个分量幅度相等，且x 分量的相位滞后y 分量/2π，故反射波为右旋圆极化波。
(2 分) 由于理想导体内无电磁场，故 0t H =令空气一侧为介质1，导体一侧为介质2，又由于()i i zjH E z ωμ∂=⨯∂a (1 分)12()jkz y x j e η-=-a a (1 分)()r r z jH E zωμ∂=⨯∂a (1 分)12()jkz y x j e η=-a a (1 分)1i r H H H =+012()()jkz jkz y x j e e η-=-+a a 014()cos y x j kz η=-a a (2 分)故210()s z J n H H ==⨯-10()z z H ==⨯-a =014()z y x j η=⨯-+a a a 014()x y j η=+a a (2 分)10、例题3.12求半径为a 的无限长直导线单位长度内自感。
解：设导体内电流为I ，则由安培环路定律02()2IrB r a aϕμπ=≤a则导体内单位长度磁能为2012m V W B dV μ=⎰2220240124VI r dV a μμπ=⋅⎰2221202400124aI r rdrd dz a πμφμπ=⋅⋅⎰⎰⎰222024001224aI r rdr aμπμπ=⋅⋅⎰2016I μπ= 0228m W L I μπ==。