平方等于 它本身。
a2=｜a｜= 一个数的 a（a≥0） 平方的算
或
术平方根
a2=｜a｜= 等于这个
-
数的绝对
a（a＜0） 值。
应用与拓展
（1） 二次根式的非负性 （ a≥0，a≥0）应用较多，如：
a + 1+ b - 3=0，则 a+1=0，b-3=0，即 a= -1，b=3； 又如 x - a+ a - x，则 x 的取
3 = =3
据 a 的符号去掉绝
对值号。
练习：计算（1）（ ）2
(2) （4 3）2
(3) Error!
（4）-
（6） x2 - 2x + 1+ x2 - 6x + 9（1≤x≤3）
★（ a）2（a≥0）与 a2的区别与联系：
（ a）2
a2
2
表示的意义不 表示非负数 a 的算术平方根的
表示 a2 的算术平方根
是（ ） 题型四：利用 a2=｜a｜并结合数轴化简求值
已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示。
试化简： a2+ b2+ （a - b）2+ （b - 1）2- （a - 1）2 题型五： a2=｜a｜与三角形三边关系的综合应用 在△ABC 中，a，b，c 是三角形的三边长，化简 （a - b + c）2-2｜c-a-b｜
2
数为 2，即“ ”，我们一般省略根指数 2，写作“
”。如2 5可以写作 5。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a表示非负数 a 的算术平方根，因此 a≥0， a≥0。其中 a≥0 是 a有意义 的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a，就意味着给出了 a≥0 这一隐含条件。
1
二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
（1） 2 - 5x；
（2） 4x2 + 4x + 1
二、二次根式的性质：
二次根式的性 质
a（a≥0）的 性质
符号语言 a≥0
（a≥0）
文字语言
一个非负 数的算术 平方根是 非负数。
（ a） 2（a≥0）的性 质
a2的性质
（ a）2 = 一个非负
a（a≥0） 数的算术 平方根的
三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连
s 接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y， 3x（x≥0），-ab，t（t≠0，x3 都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=
等）
（1（ 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和
典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x + 5- 3 - 2x； （2） ； 题型二：利用二次根式的非负性化简求值
（3） x - 3+ 3 + x
已知 a2+
b - 2=4a-4，求 ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数 x，y 满足｜x-4｜+ y - 8=0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长
同
平方
取值范围不同 读法不同
a≥0
a 为任意实数
读作“根号 a 的平方”或“a 读作“根号 a2”或“a 的平方
区
的算术平方根的平方”
的算术平方根”
被开方数不同
被开方数是 a
被开方数是 a2
别
运算顺序不同
先开放后平方
先平方后开方
运算结果，运 算依据不同 作用不同
联系
（ a）2 =a，依据平方与开平 依据算术平方根的定义得到
二次根式 1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做
a 的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2 得 x＜-2。不等式组的解集是两个不等式解集
｛ 的公共部分。如
X≥-2 X＜5
的解集为-2≤x＜5。
3、 分式有意义的条ຫໍສະໝຸດ ：分母≠04、 绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）
一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：
”称为二次根号。
（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指
a≥0，则 a=（ a）2 如：2=（ 2）
1 2，2=（ ）2
（1）正用公式：
Error!=｜3-π｜=3-π
（2）逆用公式：
注意 a（a≥0）的最
小值为 0。
逆用公式可以在实数 范围内分解因式，如 a2-5=a2-（ 5）2 =(a+ 5)(a- 5)
化简形如 a2的式 子时，先转化为 ｜a｜形式，再根
不等式都是关系式。如 2x+3＞3x-5 是关系式。
x-2 练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④ 3 ＞1；⑤2a+3b；⑥ 2 - x(x≤2)，
其中是代数式的有（
）
列代数式的常用方法：
3
（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2） 公式法：根据公式列出代数式。 （3） 探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 （1） 把 a 本书平均分给若干名学生，若每人分 5 本，还余 3 本，则学生人数为（ ） （2） 若圆 A 的半径 r 是圆 B 的半径的 5 倍，则这两个圆的周长之和为（ ）
方互为逆运算得到
（ a）2 = a（a≥0），正向运用 可化简二次根式，逆向运用可以将 任意一个非负数写成一个数的平方 的形式
a2=｜a｜，正向运用可以将根号 内的非负因式取算术平方根移到根 号外，逆用运用可以将根号外的非 负因式平方后移到根号内
①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方
②结果都是非负数；③a≥0 时，（ a）2= a2
（5）形如 b a（a≥0）的式子也是二次根式，b 与 a是相乘的关系。要注意当 b 是分
8
2
数时不能写成带分数，例如3 2可写成 ，但不能写成 2 3 2。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6； （2） - 18； （3） x2 + 1；
1 （4）3 - 8； （5） x2 + 2x + 1； （6）3 ｜x｜； （7） 1 + 2x（x＜- 2）
值范围是 x-a≥0，a-x≥0，解得
x=a。
（2） 具有非负性的性质： ①a2≥0；②｜a｜≥0；③ a≥0
（a≥0）。 （3）若 a2+｜b｜+ c=0，则
a=0，b=0，c=0，即若几个非负数
的和等于 0，则这几个非负数分别
等于 0。
正用公式：（ 5）2
=5；（
m2 + 1）2=m2+1；逆用公式：若