十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L ⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y xLπππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L ⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(12141210210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3．计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ⎰L yds ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+2222421)2(1)122(34)4(4412202-=++=⎰y d y . 4．计算⎰+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t＝143216.6．计算22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解22x y Leds +⎰＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L＝dx e dt t a t a e dx eax a a x⎰⎰⎰+++++0240222220201)sin ()cos (11π＝(2)14a e a π+-7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .解 （1）⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ（2）⎰⎰=LLdS y x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LLdSy x dS y x y y ),(),(μμ(二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧.解 ⎰+L xdy ydx ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+L ydx xdy ，其中L 分别为（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 （1）⎰=+=1022)24(dx x x x I .（2）2)22(1=+=⎰dx x x I .（3）⎰+L ydx xdy ＝⎰⎰⎰++BO AB OA ＝2010(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.3．计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.13])13(3)12(2)1[(10=+++++=⎰dt t t t I .4．计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [)(222b a a +=π.5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dtdzdt dy dt dx ==，故229411cos yx ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓΓ++=++⎰⎰＝ dS yx yR xQ P ⎰Γ++++2294132.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向.解 ⎰-L ydy x dx xy 22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-= ()122017sin sin 246I x x x x dx =---=-⎰3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b+=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段. 解 x ye P +=1,x e x Q += ⎰⎰-=+11L L L I ＝2aDadxdy dx ab a π--=-⎰⎰⎰4. 计算3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧．解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+ ⎰⎰⎰--=+211L L L L I ＝0)4321(00122-+--⎰⎰⎰y y dxdy D π＝42π5. 计算⎰+-L y x xdyydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x xQ +-=，当022≠+y x 时， yP y x y x x Q ∂∂=+-=∂∂)(22222L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(，故不能直接用格林公式.选适当小的0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 与l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdy ydx )(222－⎰+-ly x xdyydx )(222＝0其中l 取逆时针方向.所以 ⎰+-Ly x xdy ydx )(222＝⎰+-l y x xdy ydx )(222＝πθθπ=--⎰20222222cos sin rr r . 6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值. 解 （1）42y xy P -=，324xy x Q -=xQ y x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关.（2）⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u . 解 （1）验证略； （2）y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数.解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x uy x x ydy x xdx yxsin cos 220+=+⎰⎰.(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解 ⎰⎰∑+dS y x )(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+21＝⎰⎰⎰⎰+++++xyxyD D y x dxdy y x dxdy z z y x )(1)(222222⎰⎰++=xyD dxdy y x )()12(22＝π212+. 2. 计算⎰⎰∑++dS zy x )223(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分. 解 dxdy y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(， ＝⎰⎰⎰⎰-+=+x D dy y dx dxdy y xy 23302)265(361)265(361 ＝614)42741549(36122=+-⎰dx x x . （x y x D xy 2330,20:-<<<<）3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++.解 ⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxyD D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a 2222222221)(2＝42022342a d a d a aπρρρθπ=-⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(＝⎰⎰⎰⎰--+--+xyxyD D dxdy y x a dxdy y x a y x )()(222222＝πρρρθπ2)(002220=-+⎰⎰ad a d5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰. (五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x 22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧.解 ⎰⎰∑zdxdy y x 22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222＝24220cos sin Rd πθρθρ⎰⎰＝72105R π2．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 4321∑+∑+∑+∑=∑0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⎰⎰⎰⎰--=++∑xyD dxdy y x x yzdzdx xydydz xzdxdy )1(34＝dy xy x x dx x⎰⎰---10102)(3＝85.3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为已知连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:表面的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dydz a f dydz f dydz x f I )()0()(1＝bc f a f )]0()([-⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dxdz b g dxdz g dxdz y g I )()0()(2＝ac g b g )]0()([-ab h c h I )]0()([3-=所以321I I I I ++=＝ab h c h ac g b g bc f a f )]0()([)]0()([)]0()([-+-+-.4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x＝0)()(222222=-----⎰⎰⎰⎰dydz z y a dydz z y a yzyzD D同理：02=⎰⎰∑dzdx y4202222222)()(a d a d dxdy y x a dxdy z aD xyπρρρθπ=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π.5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解 ⎰⎰∑=0zdxdy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∑1032211dz y dy dydz y xdydz yzDπθθθθππ43)2cos 1(23cos 320202=+==⎰⎰d d同理：π43=⎰⎰∑ydzdx故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23.6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. （1）3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积；（2）3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积.解 （1）正确；（2）错误.正确解法是：()x z dxdy a dxdy ∑∑+=⎰⎰⎰⎰＝3a dxdy a xyD π=⎰⎰. (六) 高斯公式利用高斯公式计算:1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰ 240003sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=-2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 部分的下侧. 解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧； )1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑和3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑+∑+∑+∑---++321zdxdy ydzdx xdydz＝003+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩzxxyD D dzdx dxdy dv ＝ππρρθρπ=+⎰⎰⎰43110202dz d d .3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的表面并取外侧,其中{(,,)|0,0,0}x y z x a y a z a Ω=≤≤≤≤≤≤.解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝4000)(a dz y x dy dx aa a =+⎰⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦.解 2()2()2I x y z dxdydz x y dxdydz zdxdydz ΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2220()xyxyhD D dxdy zdz h x y dxdy +=--⎰⎰⎰⎰=412h π.(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得 ⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2( ＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.2．计算⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 和),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得 ⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()( ＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝2242222a dxdy dxdy dydz dxdy dydz xyxyyzD D D ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑.(八) 曲线积分与曲面积分自测题1．计算曲线积分(1) ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤ds a θθθ===cos r a θ==ds y x L⎰+22=222cos 2a ad a ππθθ-=⎰.(2) ⎰L zds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===； 解ds ==⎰L zds=03220(2)3t t +-=⎰.(3) ⎰+-L xdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解 ⎰+-L xdy dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰=222sin 2at tdt a ππ=-⎰. (4) ⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解 ⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(1462322[()1223]t t t t t t t dt -+-⎰16401(3)35t t dt -=⎰ (5)⎰-+-Lx xdyy e dx y y e)2cos ()2sin (，其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x 从0到2a.sin 2,cos 2x x P e y y Q e yy =-=-11(sin 2)(cos 2)x x L L L L e y y dx e y dy +-+-=-⎰⎰⎰=220()(sin 020)0ax D Q P dxdy e dx a x y π∂∂---+=∂∂⎰⎰⎰2．计算曲面积分(1) ⎰⎰∑++222z y x dS ，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+；解x =dS ==⎰⎰∑++222z y x dS=12∑∑+⎰⎰⎰⎰=22yzD R y -⎰⎰222yzD R y-22221yzD R z R y=+-⎰⎰=2arctanH Rπ. (2) ⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰2()xyD x y dxdy --⎰⎰ =44044h h ππ-=-.(3) ⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰0xyD dxdy -⎰⎰ =3302dv R πΩ-=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧； 解 0I = （利用高斯公式）(5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧.解 ⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰=122022cos sin 1xyD d r r r rdr πθθθ=-⎰⎰⎰⎰=215. 3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 是单连通域.在G 内，222()Q xy Px x y y∂-∂==∂+∂，所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→(,)22222(1,0)10(,)x y yx xdx ydy x y u x y dx dy x y x x y +==+++⎰⎰⎰=221ln()2x y +. 4．计算⎰Γ-+-++dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中Γ为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向.解 由斯托克斯公式，得 ⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2( ＝()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y ==200xyaD M dS πρρ∑===⎰⎰⎰⎰⎰=22a πρ222112xyD z zdS Ma a x ρπ∑==--⎰⎰⎰⎰=2a故重心的坐标为(0,0,)2a .。