∴x＝1时，f(x)取得最小值1； x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a， ∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
1．(2011· 福建高考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不 相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．(－1,1) B．(－2,2) ( )
1 (2)其他面的淋雨量之和，其值为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨 2 3 量．当移动距离 d＝100，面积 S＝ 时， 2 (1)写出 y 的表达式； (2)设 0＜v≤10,0＜c≤5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少．
[ 解]
(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为
[做考题
查漏补缺]
(2011· 湖南高考)如图，长方体物体 E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速 移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的 分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两 部分：
(1)P 或 P 的平行面 (只有一个面淋雨 )的淋雨量，假设其值与 |v－ c|×S 成正比，比例系数为 1 ； 10
[联知识
串点成面]
指数函数与对数函数的性质： 指数函数y＝ax(a>0 且a≠1) 定义域 (－∞，＋∞) 对数函数y＝ logax(a>0且a≠1) (0，＋∞)
值域
不变性
(0，＋∞)
恒过定点(0,1)
(－∞，＋∞)
恒过定点(1,0)
指数函数y＝ax(a>0且 对数函数y＝logax(a>0
a≠1)
[悟方法
触类旁通]
应用函数知识解应用题的步骤 (1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键， 转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟
知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
(2)用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案， 进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即 对实际问题进行总结作答．
航行速度行驶？
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为 0.5x2(0＜x≤50)， 300 从甲地到乙地所用的时间为 x 小时， 则从甲地到乙地的运输成本 300 300 y＝0.5x ·x ＋800·x (0＜x≤50)，
2
300 300 故所求的函数为 y＝0.5x2·x ＋800·x
1 ＝150x＋
[解析] 作出函数f(x)的图像，如图， 由图像可知，当0＜k＜1时，函数 f(x)与y＝k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． [答案] (0,1)
[点评] 本题求解利用了数形结合的方法，方程根的问题
转化为直线y＝k和函数y＝f(x)的图像的交点个数，y＝(x－ 1)3的图像可利用y＝x3图像向右平移一个单位得到．
[文](2011· 宣武区模拟)若 c 的大小关系为 A．a>b>c C．c>b>a
1 － a＝20.3，b＝0.3 2，c＝log 1 2，则
2
a，b， )
( B．a>c>b D．b>a>c
1 解析：分别结合指数函数与对数函数的图像可得，a＝20.3∈(0,1)，
b x1＋x2 解析： ∵f(x1)＝f(x2)， ∴f(x)的对称轴为 x0＝－ ＝ .得 f(x1 2a 2
b b b2 － ＋c＝c. ＋x2)＝f－a＝a·2＋b· a a
答案：C
[悟方法
触类旁通]
求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合， 特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的 问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间 中点，一轴指的是对称轴.
函数与方程是近几年高考的热点，由于两函数图像的 交点横坐标就是方程的根，所以可由零点(方程实根)的个 数确定相关参数的值或范围，2011年北京卷第13题就考查 这一点．
2 ， x≥2 (2011· 北京高考)已知函数 f(x)＝x 若关于 x 的方程 3 x－1 ，x<2. f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是________．
.
故函数 u＝f(a)的图像大致是 C.
答案: C
6．(2011· 广州模拟)某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、 乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成， 已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比
(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最
大航行速度为50海里/小时． (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海 里/小时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的
解析：设矩形花圃的长为 x m(a≤x<12)，则此矩形花圃的面积 S(x) ＝x(16－x)＝64－(x－8)2， ①当 0<a≤8 时，S(x)max＝S(8)＝64； ②当 8<a<12 时，S(x)max＝S(a)＝64－(a－8)2， 故
64，0<a≤8 u＝f(a)＝ 2 64－a－8 ，8<a<12
知考情 第3讲 二次 函数、 指数 函数、 对数 函数
研考题
析考向
战考场
高频考点
考情解读 二次函数多与一元二次
考查方式
二次函数 方程、一元二次不等式 结合命题，多为中档题 指数函 数与对 考查两种函数的图像和 性质，求解时有时用到
选择题和填空题
Hale Waihona Puke 题型以选择题、填空题为主，也 有可能在解答题 中考查
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.
答案：C
2．(2011· 安徽蚌埠二中)设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，如果 f(x1) ＝f(x2)(x1≠x2)，则 f(x1＋x2)＝ b A．－2a C． c b B．－a 4ac－b2 D. 4a ( )
[做考题
x∈[－5,5]．
查漏补缺]
(2011· 深圳质检)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2， (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调
函数．
[解] (1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
600 x (0＜x≤50)．
1 (2)法一：由(1)y＝150 x＋
600 x
≥150×2
1 600 x× x ＝12 000，
1 600 当且仅当 x＝ x ，即 x＝40 时取等号． 故当货轮航行速度为 40 海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
1 法二：由(1)y＝150 x＋
[解 ]
(1)由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 4 ＝0，解得 a＝2. 2a ＋ a
0
故必有 f(0)＝0，即 1－
(2)由(1)知 y＝f(x)＝1－
x
1＋y 2 x ，得 2 ＝ . 2x＋1 1－y
1＋y ∵2 >0，∴ >0，解得－1<y<1， 1－y 故函数 f(x)的值域是(－1,1)．
3． (2011· 辽宁高考)设函数 的 x 的取值范围是 A．[－1,2] C．[1，＋∞)
1－x ，x≤1， 2 f(x)＝ 1－log2x，x＞1，
则满足 f(x)≤2 ( )
B．[0,2] D．[0，＋∞)
解析：当 x≤1 时，21－x≤2，解得，x≥0，所以，0≤x≤1；当 x＞ 1 1 时，1－log2x≤2，解得，x≥2，所以，x＞1.综上可知 x≥0.
5．(2011· 深圳模拟)如图，有一直角墙角，两 边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙
的距离分别是a m(0<a<12)、4 m，不考虑
树的粗细．现在想用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个 矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值 为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图像大 致是 ( )
x 2 －1，x＞0， 已知函数 f(x)＝ 2 －x －2x，x≤0，
若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零
点，则实数 m 的取值范围是________．
解析：在坐标系内作出函数 的图像，如右图所示：
x 2 －1，x＞0， f(x)＝ 2 －x －2x，x≤0
答案: D
4．[理](2011· 武汉模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)
在(0，＋∞)上单调递增”的 A．充分必要条件 C．充分不必要条件 ( B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
解析: ∵f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增⇔a>0， ∴a＝1是f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增的充分 不必要条件． 答案: C
数函数
导数
高频考点
考情解读 函数的实际应用经常与数列、 导数、不等式等相结合，以生
考查方式
函数的实
活中的问题为命题背景，主要 际应用 考查函数的单调性、导数、均 值不等式等知识
题型以解
答题为主
[联知识 串点成面] 二次函数的图像与性质： (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是抛物线 ①过定点(0，c)； 2 b b 4ac－b ②对称轴为 x＝－ ，顶点坐标为(－ ， )． 2a 2a 4a b b (2)当 a＞0 时，图像开口向上，在(－∞，－ ]上单调递减，在[－ ，＋ 2a 2a 4ac－b2 ∞)上单调递增，有最小值 ； 4a b b 当 a＜0 时，图像开口向下，在(－∞，－ ]上单调递增，[－ ，＋∞) 2a 2a 2 4ac－b 上单调递减，有最大值 . 4a