qB 2
Lˆ z
项。
这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）
Hˆ 1 (Pˆ eA)2 V(r) (r)Lˆ sˆ e ˆ Bˆ
2
2
取 B 方向为 z 方向，
Aˆ 1 B r 1 yB, 1 xB,0
2
2 2
则
Hˆ
Pˆ 2 2
V(r)
(r)Lˆ
sˆ
eB 2
(Lˆ z
2sˆz
)
Hˆ 0
恰当选取 Hˆ 0 ，Hˆ 1 ，从而满足
(Hˆ 1 )ik Ek0 Ei0
1
这样取一级近似，最多到二级就可满足精
度要求。 9.1 9.2 9.7
第二十四讲
Ⅰ. 定态微扰论
B. 碱金属光谱的双线结构
和反常塞曼效应
C. 简并能级的微扰论
B. 碱金属光谱的双线结构
和反常塞曼效应
1．碱金属光谱的双线结构
向），而引起能级移动。在一级微扰下
E (1) nljmj
nljmj
eB 2
Jˆ z
eB 2
Sˆ z
nljmj
eB
2 mj
eB 2
† ljm
j
sˆ z
ljm
j
d
eB 2
m j
eB 2 2
(aYl*m
,
bYl*m1
)
aYlm bYlm1
d
eB 2
m
j
eB 2
2
(a2
b2 )
mj
eB 2
m j
(E(00) E )a Vb 0
得 a 1，b 1
E
E(0) 0
V，则有
(E(00) E )a Vb 0
得 a 1 ，b 1
所以，Hˆ 的本征值和本征态
E
E( 0 ) 0
V
，相应本征态为
1 2
1111
如用非简并微扰论来求，从 (i0) 出发
(0) 1
Hˆ 1
(0) 1
0
(0) 2
eB 2
jz
eB 2
sˆz
(
忽略
e2B2 8
r2 )
ห้องสมุดไป่ตู้
这时
Hˆ 0 nljmj
E(0) nlj
nljmj
选 (Hˆ 0, Lˆ 2,Jˆ2,Jˆz ) 为力学量完全集，Hˆ 0
能级的简并度为 2j 1 ，即对 mj 简并)。
E( 0 ) nlj
是磁场为零时的能量本征方程的本征
值。于是，置入弱磁场后（均匀，取 z 方
第 二十 三 讲 回 顾
Ⅵ. 全同粒子交换不变性－波函数具有确 定的交换对称性
C. 全同粒子的交换不变性的后果
第九章 量子力学中束缚态的近似方法
Ⅰ. 定态微扰论 A. 非简并能级的微扰论
C. 全同粒子的交换不变性的后果
1．两全同粒子的波函数 若两全同粒子都处于 Rnl Ylm 态，而 它们的相互作用是变量可分离型的，即
nl nl 2l 1 2 2
2．反常塞曼效应：在较强磁场中原
子光谱线分裂的现象（一般分为三条），
称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自
旋－轨道耦合和 B2项可忽）也同样（因
ms 0 ）。
当磁场较弱时，(r)Lˆ sˆ与
qB 2
Lˆ z
引起的
附加能量可比较时，就不能忽略自旋－轨
道相互作用项而仅考虑
E(0) n
也存在这一问题。 事实上，由于零级是简并的，我们不
知应从那一个态出发是正确的。
所以，对简并能级的微扰问题的处理 与非简并问题的处理，实质的不同在于零 级波函数的选取。即要正确选取零级波函 数。
例 若体系的 Hˆ 0仅有一条能级，但 是二重简并（这二个态构成完全集）。
Hˆ 0(i0)
E (0) (0) 0i
，散射截面不同。
8.17
第九章 量子力学中束缚态的近似方法
Ⅰ. 定态微扰论
设：Hˆ Hˆ (r,Pˆ ) ，要求其本征值和本
征函数
Hˆ E
Hˆ Hˆ 0 Hˆ 1
Hˆ () Hˆ 0 Hˆ 1
A. 非简并能级的微扰论
设：Hˆ 0
的本征值和本征函数为
， E （0） （0）
k
k
Hˆ 0（k0）
(r1,s1z ,r2 ,s2z ) uLmLSms
仅当
S L 偶数
(r1,s1z ,r2 ,s2z ) 的交换对称性才是正确的
由于全同粒子交换不变性，使 玻色体系和费米体系可能处的状态数
目不同； 玻色体系和费米体系的概率分布不同 玻色体系和费米体系所处的状态结构
也不同； 玻色子间的散射和费米子间的散射时
碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作
用，V(r)，价电子的哈密顿量为
Hˆ Pˆ 2 V(r) (r)l s 2
1 1 dV (r) 22c2 r dr
Hˆ E
取
Hˆ 0
Pˆ 2 2
V(r)
Hˆ 1 (r)l s
选力学量完全集 (Hˆ 0,Lˆ2,Jˆ 2,Jz )
i
'(i 0)
(Hˆ 1 )ik
E( 0 ) k
E( 0 ) i
2．二级微扰：当微扰较大时，或一
级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了。
由 2项所得方程可得准至二级的能量
和波函数
Ek
E(0) k
(Hˆ 1 )kk
i
'
(Hˆ 1 )ik 2
E(0) k
E(0) i
k
1
1 2
i
'
(Hˆ 1 )ik 2
1
Hˆ 0
'
(i
a 0) (1) ik
Hˆ 1(k0)
E(0) k
'
(i 0
a) (1) ik
E (1) (0) kk
i
i
2
Hˆ 0
'
(i
a 0) (2) ik
Hˆ 1
'
(i
a 0) (1) ik
E(0) k
' (i 0 )a(ik2)
E(1) k
'
(i 0
a) (1) ik
E (2) (0) kk
5 3 ωL
ωL
1
(0) 3 21 2
3 ωL
1 3
ωL
ωL
5 3 ωL
1 1 22
31 22 1 1 22 11 22 31 22 1 1 22
所以，这时每条能谱线的多重态是偶 数；能级多重态的间距随不同能级而不同 ；而光谱线也是偶数条。
C. 简并能级的微扰论 当体系的一些能级是简并时，那考虑
0
• 1
Hˆ 0(l0)
E (0) (0) ll
Hˆ 0(l1)
Hˆ 1(l0)
E (0) (1) ll
E(l1)(l0)
其中
fl
(1) l
a (0) (1) lk lk
'
a (0) (1) l ll
k 1
l
（注意：'是代表求和中，l l 的所有态）
将
(0) lm
与
一次幂的方程标积得
fl
E a (0) (1)
•
l lm
(0) lm
Hˆ 1
(0) lk
a(0) lk
E a (0) (1) l lm
E a (1) (0) l lm
k 1
即
fl
(
(0) lm
Hˆ 1
(0) lk
E(l1)mk )a(lk0) 0
k1
要有非零解 (即 a(lk0) 不同时为 0 )，则必须
(Hˆ 1 )mk E(l1)mk 0
E （0）（0） kk
（0） k
构成一正交，归一完备组。
非简并微扰论就是处理的那一条能级
是非简并的（或即使有简并，但相应的简
并态并不影响处理的结果）。
现求解
Hˆ k Ekk
即
(Hˆ 0 Hˆ 1)k Ekk
就是从 E（k0），（k0）出发，通过逐级逼近来求
Ek ，k ，即将 Ek ， k 对 展开（即
E(0) nlj
E(0) nlj
L
2l 2l
1mj
2l
m 1
j
jl1 2 jl1 2
根据偶极跃迁选择定则
l 1 j 0,1 mj 0,1
P1 2 — S1 2 有四条光谱线
4 3
L
(0) 1 21
2
2
3 2
3
L L
4 3
L
1 1 22 1 1 22
11 22 11 22
P3 2 — S1 2 有六条光谱线
对 Hˆ 1 矩阵元展开），来求解。
当 0，即 Hˆ 1 0 ，我们有
k
(0) k
Ek
E(0) k
将
k
N((k0)
(k1)
2 (2) k
)
N((k0)
'
(i
0
a) (1) ik
2
'
(i 0
a) (2) ik
)
i
i
求和号上的撇表示求和不包括 (k0)态，即
(0 k
)是与
(ki)
(
i=1,2,3等
若有微扰
(0) 1
Hˆ 1
(0) 1
0
(0) 2
Hˆ 1
(0) 2
0
(0) 1
Hˆ 1