意一个角度α，都能与原来的图形重合。
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC
与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
A
定理 在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，
C
所对的弦相等，所对的弦的
O
弦心距相等。
B
A' C' B'
题设
结论
n°弧
C
一般地，n°的圆心角
对着n°的弧。
D
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
C
C
O
O
B
A B
B A
A
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角.
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
C
C
C
O
化
归
B
A
化
O
归
A
O A
分类讨论 B
完全归纳法 B
圆周角定理
C
1、已知AOB＝75°，求：
C
∠ACB
O
O
2、已知∠AOB＝120°，
A 求： ∠ACB
B
A
B
3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB
C
4、已知∠AOB＝110°，求：
O
B ∠ACB
O
B
D
A
A
C
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。
A
E
C
O
D
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，
你能得到什么结论？
E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
圆的基本性质
(1)理解圆及其有关概念
b
(2)了解弧 、弦、圆心角的关系 a
(3)探索并了解点与圆的位置关系 c
⑷探索圆的性质
c
⑸了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周
角
的特征
a
⑹了解三角形的外心
a
知识体系
圆
基本性质
直线与圆的 位置关系
圆与圆的 位置关系
概 对 圆周角与 切
念 称 圆心角的 性 关系
在
同
()
前 提
圆 或 等
圆
中
（ 条 件 ）
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆 心角所对的弦相等， 圆心 角所对弦的弦心距相等。
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份 的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
CCC
三角形叫做圆的内接三角形。
A AA
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
B
OOO C
B B
问在题三角2：形三内角吗形？的外心一定▲▲AABAB∠CCC是是＝钝锐9角0角°三三O角角形形
B
垂直于弦的直径
及其推 论
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 侧半圆会有什么关系？
性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 的直线都是它的对称轴。
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
圆是“圆周”还是“圆面”？
圆是一条封闭曲线
圆周上的点与圆心有什么关系？
点与圆的位置关系
你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？
如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
r2
d
2
a
2
2
变式1：AC、BD有什么关系？
AC
O
D
变式2：AC＝BD依然成
B
立吗？
变式3：EA＝_F_B__, EC=__F_D__。 A C E O F D B
AC
DB
O
变式4：_O_A_=_O_B_
AC=BD.
变式5：_O_C_=_O_D_
AC=BD. A C
DB
O
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
垂径定理 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
C
O
ED
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC A
D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！
若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？
A
O EB
推论
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
直角三角形斜边中线有什么性质？反过 来呢？
如图，比较同∠A弧C所B、对∠的AD圆B、 ∠AEB的大小 周角相等
C E
D O
A
B
E
A O
B C
F 如等图弧，如所果对弧的A圆B＝周弧角C相D，等那；么 ∠E在和同∠F圆是中什，么关相系等？的反圆过周来角呢？
线 的
性
质 垂 圆心角、
径 弧、弦之
定 间的关系
理 定理
切
位
性
线
置
质
的
分
判
类
定
弧长、扇形面积和圆锥
的侧面积相关计算
篮球是圆吗？
圆的定义辨析
圆必须在一个平面内
以3cm为半径画圆，能画多少个？
以点O为圆心画圆，能画多少个？
由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
O
直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
关于等积式的证明
如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB， 弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PDP
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段，
B
M
A
P
这是一条非常重要的辅
O
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。