探究二
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中， 圆心角、 弧、 弦之间的关系．
︵ 例 2 如图， 已知 AB 是⊙O 的直径， BC ︵ ︵ ＝ CD ＝ DE . ∠ BOC ＝ 40 °，那么∠AOE ＝ ( B ) A．40° B．60° C．80° D．120°
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如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三 直角 三角形 角形是________
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考点5
圆内接多边形
圆内接多边形 圆内接四边形 的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫 做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆
互补 圆内接四边形的对角_________
圆的基本性质
考 点 聚 焦
考点1 圆的有关概念及性质
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端 点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
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弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
相等 ， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________ 圆周角定理 一半 都等于该弧所对的圆心角的________
推论 1 推论 2 推论 3
相等 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 直角 ；90°的圆周角所 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 对的弦是______
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探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例 1 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB， 垂足为 P.若 CD＝8， OP＝3， 则⊙O 的半径为( B ) A．10 B． 8 C．5 D．3
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考点3
弦、弧、弦心距、圆心角的关系
定理
弧 相等， 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______ 弦 也相等 所对的______
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦 推论 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分 别相等
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考点4
圆周角定理及其推论
圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
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(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时， △PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
解 析 (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，
解
析
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE 的度数， 从而即
可求解．
︵ ︵ ︵ ∵BC＝CD＝DE， ∠BOC＝40°， ∴∠BOE＝3∠BOC＝120°，
∴∠AOE＝180°－∠BOE＝60°.
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探究三
圆周角定理及推论
命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算． 例3 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若 ∠ABC＝40°，则∠BOD＝( ) A. 20°D B. 40° C. 50° D. 80°
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解
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解 80°.
析
先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧
所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝
[方法点析] (1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提 供了根据； (2)在圆上，如果有直径，则直径所对的圆周角是直角； (3)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝
90°，AC＝AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得 ∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出
∠BCD的度数．
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(1)证明：∵AB 为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°. 又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点 P 运动到 PC 为直径时，△PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC 为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时 D 与 B 重合， ∴PC＝AB，CD＝BC， 故△PCD≌△ABC. 1 (3) ∵AC＝2AB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°. ∴∠CPB＝∠CAB＝60°. ∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△PBC 为等边三角形． 又 CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.
解 析 连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4. 在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5.
[方法点析] 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条 弧相等及两直线垂直的重要依据之一， 在有关弦长、 弦心距的 计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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中心 对称图形，圆 圆既是一个轴对称图形又是一个________ 还具有旋转不变性．
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考点2
垂径定理及其推论
平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理 垂直于弦的直径_________
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 推论 的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分 总结 弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论 成立，那么其他的结论也成立
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探究四ห้องสมุดไป่ตู้
与圆有关的综合运用
命题角度： 圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全 等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识综合．
例 4 如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和 1 动点 P，AC＝ AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A，B 2 两点重合)，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．