第三章 矩阵分析及矩阵函数
§3.1
基本概念
§ 3.2 函数矩阵的微分和积分 § 3.3 向量和矩阵的范数 § 3.4 矩阵函数
§3.1
基本概念
1.矩阵序列的极限
按照一定的顺序，将可数个n阶方阵排成一列： A1 , A2 , , Am , , 称这列有次序的矩阵为矩阵序列， 称Am为矩阵序列的一般项。
0 0 0
t t0
t t0
A t B t AB lim A t lim B t , 2 lim t t t t t t
0 0 0 0 0
kA t kA k lim A t 。 3 设k任意常数，则 lim t t t t
定义5 如果任意的i, j , 有1 i m,1 j n, lim aij t aij , 则称矩阵A t aij t t t0时极限为A aij
t t0 mn mn
在
。
性质3 设 lim A t A,lim B t B, 则 A t B t A B lim A t lim B t ; 1 lim t t t t t t
m
m 1, 2,
, 则 lim Am 存在，且 lim Am =A 。
m m
1
1
1
定义2 如果给定一个n阶矩阵序列 Am ： A1 , A2， ，Am， ，则由这些n阶矩阵序列 构成的表达式A1 A2
m 1
2.矩阵级数
Am
，叫做
n阶矩阵级数，记为 Am，即
定义6 设函数矩阵A t 中所有元素aij t 在t0处连续，则称A t 在t0处连续。 如果所有元素aij t 在 a,b 内每一点都 连续，则称A t 在 a,b 内连续。 如果A t 在 a,b 内连续，并且所有的aij t 在a点右连续，在b点左连续，则称A 为两个n阶矩阵序列, 如果
m m
lim Am A, lim Bm B, 则 lim kAm lBm kA lB, lim Am Bm AB,
m
1 -1
m
其中，k，l为任意常数。
性质2 如果 lim Am A, 且A ，Am 都存在，
m m 1
和，并称矩阵级数 Am是收敛的，记为
m 1

n阶矩阵级数，记为 Am，即 Am S。
m 1 m 1


否则称矩阵级数 Am是发散的。
m 1

3.函数矩阵及其极限
定义4 如果矩阵A的每个元素aij都是变量t的函数, 则称 a11 t a12 t a21 t a22 t 矩阵A t a t a t m2 m1 a1n t a2 n t 为函数矩阵。 amn t
定义1 设Am aij
m

m
n n
, m 1, 2,
,
如果任意的i, j , 有 矩阵序列 Am 收敛于矩阵A aij
m m
lim aij aij , i, j 1， 2， ，n, 则称
n n
,
记为 lim Am A; 否则，称矩阵序列 Am 为发散的。
A
m 1

m
A1 A2
Am
，
其中第m项Am叫做级数的一般项。 前m项的和S m A1 A2 Am , 称为这个 矩阵级数的部分和；并称矩阵序列S1，S 2， ，S m， 为这个矩阵级数的部分和序列。
定义3 如果矩阵级数的部分和序列 S1，S 2， ，S m， 的极限存在，设为S， 即 lim S m S , 则称S为矩阵级数 Am的
a,b 上连续。