高一数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（ ）A. 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B. 一条直线与一个平面可能有无数个公共点C. 经过空间任意三点可以确定一个平面D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B 中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C 中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D 中， 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，故选B ．【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．2.已知集合{}|132A x x =-<-≤，{}|36B x x =≤<，则A B =（ ）A. ()2,6B. (]2,5C. []3,5 D. [)3,6【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合{}|25A x x =<≤，结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}|132|25A x x x x =-<-≤=<≤，{}|36B x x =≤<，所以[]3,5AB =.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知函数2()1x f x a -+=+，若(1)9-=f ，则a =（ ） A. 2 B. 2- C. 8 D. 8-【答案】A 【解析】 【分析】直接将1-代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果. 【详解】∵()21x f x a-+=+，()19f -=∴319a +=，解得2a =，故选A.【点睛】本题主要考察了已知函数值求自变量的值，熟练掌握指数的意义是解题的关键，属于基础题.4.已知直线1l ：210x y +-=与2l ：()1320a x y -+-=，若12l l //，则a =（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】 根据12l l //，得到211132a =≠-，即可求解实数a 的值，得到答案. 【详解】由题意，直线1l ：210x y +-=与2l ：()1320a x y -+-=， 因为12l l //，所以211132a =≠-，解得7a =. 故选：C .【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩ 66x x ≥<，则()5f =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，可得()25(7)log 8f f ==，即可求解.【详解】由题意，函数()()()2log 1,62,6x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， 则()225(52)(7)log (71)log 83f f f =+==+==，故选B【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 6.方程2220x x +-=的根所在的区间为（ ） A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】设()222xf x x =+-，求得()10()02f f ⋅<，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，设()222xf x x =+-，可得()f x 是R 上的增函数，又由()01210f =-=-<，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()10()02f f ⋅<，所以()f x 的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即方程2220x x +-=的根所在的区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中熟记零点的存在定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.不论m 为何实数，直线()():1230l m x m y m -+-+=恒过定点（ ） A. ()3,1--B. ()2,1--C. ()–31，D. ()–21，【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=,即可求得过定点坐标. 【详解】根据题意,将直线方程变形()2130x y m x y ++--=因为m 位任意实数,则21030x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得31x y =-⎧⎨=⎩所以直线过的定点坐标为()3,1- 故选:C【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.8.定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上有2个零点，则()f x 在R 上的零点个数为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，再根据偶函数的对称性，得到()f x 在()0,+∞和(),0-∞上各有1个零点，即可得到答案.【详解】由题意知，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又因为()f x 在[)0,+∞上有2个零点，所以()f x 在()0,+∞上有1个零点，()f x 在(),0-∞上也有1个零点，故()f x 在R 上有3个零点.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的零点个数的判定，其中解答中合理利用函数的奇偶性，利用函数零点的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是( ) A. 若m α⊥，m //n ，n β⊂，则αβ⊥ B. 若m //n ，αβm ⋂=，则n //α，n //βC. 若m //n ，m α⊥，则n α⊥D. 若m α⊥，m β⊥，则α//β 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理，判断A ；由线面位置关系判断B ；由线面垂直定理判断C ； 由面面平行判断D ；【详解】A.由线面垂直定理、面面垂直定理，知：若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥，故A 正确；B.若//m n ，=m αβ⋂，则n α⊂，//n β或//n α，n β⊂，或//n α，//n β，故B 错；C.由线面垂直定理，知：若//m n ，m α⊥，则n α⊥，（垂直于同一个面的两条直线互相平行）故C 正确；D.由面面平行定理，知：若m α⊥，m β⊥，则//αβ，（垂直于同一条线的两个平面互相平行）故D 正确 因此选B【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.10.若函数()31f x ax bx =++在()0,∞+上有最大值8，则()f x 在(),0-∞上有（ ）A. 最小值－8B. 最大值8C. 最小值－6D. 最大值6【答案】C 【解析】 【分析】先设()()31g x f x ax bx =-=+，利用函数奇偶性的定义，得到()g x 为奇函数，根据题意得到()g x 在()0,∞+上有最大值7，由奇函数性质，得到()g x 在(),0-∞上有最小值－7，进而可求出结果.【详解】根据题意，设()()31g x f x ax bx =-=+，有()()()()()33g x a x b x ax bx g x -=-+-=-+=-，则()g x 为奇函数.又由函数()31f x ax bx =++在()0,∞+上有最大值8，则()g x 在()0,∞+上有最大值7，故()g x 在(),0-∞上有最小值－7，则()f x 在(),0-∞上有最小值－6.故选C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的概念即可，属于常考题型. 11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A. BD AC ⊥B. EF ⊥平面11BDD BC. 平面EFG ⊥平面11BDD BD. 平面//EFG 平面1AB C 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中，结合平面与平面平行的判定定理，即可得到结论. 【详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为1//EG AB ，EG ⊂平面EFG ,可证得//EG 平面1AB C ， 因为1//FG B C ，FG ⊂平面EFG ,可证得//FG 平面1AB C ， 又由EG FG G =，所以平面//EFG 平面1AB C .故选：D【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12.若直线l ：y kx =与曲线M ：2y 11(x 3)=+--有两个不同交点，则k 的取值范围是()A. 13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 15,29⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】由曲线方程可得半圆图形，利用数形结合，得解． 【详解】由2y 11(x 3)=+--， 得：22(x 3)(y 1)1-+-=，()y 1≥，如图所示，符合题意得直线夹在OA ，OB 之间， 显然，OA 的斜率为12， 由1tan MON 3∠=， BON 2MON ∠∠=，结合二倍角正切公式可得：3tan BON 4∠=， 故选B ．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，数形结合等，难度适中．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数()()45log f x x -=________. 【答案】[)0,5 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x ≤<，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.14.计算:)lg 21lg 5++=______【答案】2 【解析】 【分析】直接计算得到答案.【详解】)lg 21lg 51lg102++=+=.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数，指数幂的计算，属于简单题.15.已知直线l ：220x y --=，点P 是圆C ：()()22114x y ++-=上的动点，则点P 到直线l 的最大距离为______.2 【解析】 【分析】求得圆心到直线l 的距离为d =，再结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，圆C ：()()22114x y ++-=的圆心坐标为(1,1)C -，半径2r ，则圆心到直线l ：220x y --=的距离为d ==所以点P 到直线l 的最大距离为2d r +=.2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，结合圆的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A B 上的动点，点F 是线段BC 上的动点，则AE EF +的最小值是______.【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，合理分类，结合对称，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当B 与F 重合时，EF BE =； 当B 与F 不重合时，BEF∆直角三角形，即90EBF ∠=︒，所以EF BE >，所以EF BE ≥，即AE EF AE BE +≥+. 作出点A 关于点A 的对称点'A ，则'AE A E =， 从而'''AE EF A E EF A E BE A B +=+≥+≥，因为'A B ==所以AE EF +≥【点睛】本题主要考查了立体几何中的最值问题，其中解答中熟记正方体的几何结构特征，合理利用对称和分类讨论求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}|21A x m x m =-<≤+，(){}2|log 32B x x =-<. （1）当3m =时，求A B ；（2）若AB A =，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|34A B x x =<≤（2）[)5,6【解析】 【分析】（1）将3m =代入可得集合A ，解对数不等式可得结合B ，结合交集的概念即可得结果；（2）由A B A ⋂=，易得A B ⊆，列出不等式即可得结果. 【详解】（1）因为3m =，所以{}|14A x x =<≤， 因为(){}{}2|log 32|37B x x x x =-<=<<， 所以{}|34A B x x ⋂=<≤. （2）因为A B A ⋂=，所以A B ⊆.因为{}|21A x m x m =-<≤+，{}|37B x x =<<，所以2317m m -≥⎧⎨+<⎩. 解得56m ≤<.故m 的取值范围为[)5,6.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数不等式的解法，集合间的相互关系，准确解出对数不等式是解题的关键，属于基础题． 18.已知直线l :kx -2y -3+k =0.(1)若直线l 不经过第二象限,求k 的取值范围.(2)设直线l 与x 轴的负半轴交于点A ,与y 轴的负半轴交于点B ,若△AOB 的面积为4(O 为坐标原点),求直线l 的方程【答案】（1）03k ；（2）240x y ++=或92120x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线的点斜式方程求出k 的方程即可；（2）求出A ，B 的坐标，得到关于k 的方程，解出即可．【详解】解：（1）230kx y k --+=，322k k y x -∴=+， 若直线l 不经过第二象限， 则02302k k ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得：03k ； （2）设直线l 与x 轴的负半轴交于点A ， 则3,0k A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 与y 轴的负半轴交于点B ， 则30,2k B -⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故133()()422AOB k k S k ∆--=--=， 解得：9k =-，1k =-，当1k =-时，直线方程是：240x y ++=，当9k=-时，直线方程是：92120x y ++=，综上，直线方程是：240x y ++=或92120x y ++=【点睛】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积以及转化思想，是一道常规题． 19.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是棱11A D 、11D C 的中点()1证明：//AC 平面DMN ；()2证明：平面DMN ⊥平面在11BB D D .【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】()1连接11A C ，推导出11A ACC 为平行四边形，从而11//.AC AC 推导出11//MN AC ，从而//.AC MN 由此能证明//AC 平面DMN ．()2推导出1.MN DD ⊥ 1111A C B D ⊥，由11//MN AC ，得11MN B D ⊥，再由1MN DD ⊥，得MN ⊥平面1111.A B C D 由此能证明平面DMN ⊥平面11BB D D .【详解】() 1连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为//11AA BB -，//11BB CC -， 所以//11AA CC -，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//.AC AC 又M ，N 分别是棱11A D ，11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//.AC MN又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以//AC 平面.DMN()2因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ，所以1.MN DD ⊥又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形，所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11.MN B D ⊥又1MN DD ⊥，1DD ，11B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D ⋂=，所以MN ⊥平面1111.A B C D而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，熟悉定理是解题的关键，是中档题．20.已知函数()2233x x f x -+=.(1)求()f x 的单调区间;(2)求()f x 的值域.【答案】(1)()f x 在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增;(2)[)9,+∞.【解析】【分析】（1）设223t x x =-+,则3t y =，利用复合函数单调性得到答案.（2）根据函数单调性直接得到答案.【详解】(1)设223t x x =-+,则3t y =.因为()222312t x x x =-+=-+,所以223t x x =-+在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增.因为3t y =在R 上单调递增,所以()f x 在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增. (2)由(1)可知,()2223122t x x x =-+=-+≥,1x =时等号成立.因为3t y =在R 上单调递增,所以39t y =≥,即()()19f x f ≥=.故()f x 的值域为[)9,+∞.【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，函数最值，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，点E 是底面ABCD 对角线AC 上一点，22PE =，PCD ∆是边长为23的正三角形，DE CE BE ==，120CED ∠=︒.（1）证明：PE ⊥平面ABCD .（2）若四边形ABED 为平行四边形，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）见解析；（286 【解析】【分析】（1）取线段CD 的中点F ，连接EF ，PF ，证得CD ⊥平面PEF ，得到PE CD ⊥，再由222PE DE PD +=，得到PE DE ⊥，即可证得PE ⊥平面ABCD ；（2）由（1）可知，2DE CE BE ===，得到ABE ∆是边长为2的正三角形，求得123S =和23ACD S ∆=.【详解】（1）取线段CD 的中点F ，连接EF ，PF ，由条件知EF CD ⊥，PF CD ⊥，从而CD ⊥平面PEF ，又PE ⊂平面PEF ，所以PE CD ⊥.因为120CED ∠=︒，线段CD 的中点为F ，所以60DEF ∠=︒. 因为3DF =，所以2DE =，1EF =.因为22PE =23PD =222PE DE PD +=，故PE DE ⊥，又DE CD D ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，2DE CE BE ===，又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABED 是菱形.由120CED ∠=︒，可得60AED ∠=︒，ABE ∆是边长为2的正三角形， 12332ABE S ∆=⨯⨯=，所以三角形ABC 的面积为123S =. 同理可得23ACD S ∆=.所以43ABCD ABC ACD S S S ∆∆=+=.因为PE ⊥平面ABCD ，所以1186432233P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及合理利用几何体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.22.已知过坐标原点的直线l 与圆C ：x 2+y 2﹣8x +12＝0相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹M 的方程．（2）是否存在实数k ，使得直线l 1：y ＝k （x ﹣5）与曲线M 有且仅有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（x ﹣2）2+y 2＝4，（3＜x ≤4）．（2）存在，k ∈[3-3∪{2525} 【解析】【分析】（1）根据垂径定理，CP ⊥AB ，即可求出P 的轨迹的轨迹方程，但中点P 在圆内，所以要确定P 点轨迹方程在圆C 范围内；（2）由（1）得P 的轨迹是一段弧，先直线l 1与弧相切，用圆心到直线直线的距离等于半径求出k ，然后考虑圆弧端点与（5,0）连线的斜率的范围，即得结论.【详解】（1）设直线l的方程为y＝mx，设P（x，y），圆C：x2+y2﹣8x+12＝0，即为（x﹣4）2+y2＝4，则圆心为（4，0），半径为2，∵点P为弦AB中点即CP⊥AB，∴CP =（x﹣4，y），OP =（x，y），∴CP•OP =x（x﹣4）+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，当直线l与圆C相切时，圆心到直线l的距离为=2，解得m＝3，当直线l过过圆心时，点P与圆心重合，此时点P的横坐标为x＝4，故线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．（2）由（1）知点M的轨迹是以为（2，0）圆心，2为半径的一段弧，当直线l1与曲线M=2，解得k＝，此时l1与曲线M的交点的横坐标为103，故k＝符合，当直线l1与曲线交点的横坐标为3时，则交点的纵坐标为，此时直线l1的斜率为k＝±2，∵线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．∴要使直线直线l1：y＝k（x﹣5）与曲线M有且仅有一个交点，只需要≤k≤综上所述当k∈[∪{}时，直线L：y＝k（x﹣5）与曲线M只有一个交点．【点睛】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系，注意轨迹方程隐含的限制条件，属于较难题.。