W Fk rk 0
k
也可以写成分解形式，即
W X kxk Ykyk Z kzk ) 0 （
k
说明： （1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条件下可 能实现的无限小位移.与时间无关，可用变分符号表示。 变分与微分很相似，但对时间冻结。 （2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移原理也叫 虚功原理。
Xk、Yk、Zk—主动力Fk在坐标轴上的投影； Xk、yk、zk—Fk作用点的坐标
为求坐标对qi的偏导数,要将坐标表达成广义坐标qi的函数
对于保守系统，如果作用在系统上的主动力均为有势力， 则当有势力已知时，主动力的投影可写成用势能表达的 形式：
V V V Xk , Yk , Zk xk yk zk
求得广义力为：
V Q1 (m1 m2 ) gl1 sin 1 1 V Q2 m2 gl2 sin 2 2
二自由度系统的拉氏方程为：
d E E ( ) Q1 dt 1 1 d E E ( ) Q2 dt 2 2
Ek 为系统的动能，E p为系统的势能， qi 为广义坐标，n为系统的广义坐标数。
用拉格朗日方程建立系统运动微分方程的步骤如下： （1）确定系统自由度数，选取广义坐标； （2）计算系统动能Ek、势能Ep; （3）计算系统的广义力Q； （4）将动能、势能、广义力代入拉氏方程； （5）求解方程。
利用拉氏定理求双摆的运动微分方程： 1,取φ1和φ2为广义坐标， 即q1=φ1,q2=φ2 2、计算系统的动能
广义力Qi可表达为：
V xk V yk V zk V Qi ( ) xk qi yk qi zk qi qi k (i 1, 2,...n)
对保守系统来说，对应于有势力的广义力等于系统势能 对广义坐标的偏导数的负值
2、利用虚功间接求广义力
对于n个自由度系统，n个广义坐标对应于n个独立的广义 虚位移。若要求广义力Qi，则： 令 qi 0 而让其余n-1个广义虚位移均设为零，则 系统中所有主动力在相应虚位移中所做的虚功之和用W p' 表示，则有
rk n xi yi zi Qi Fk ( X i Yi Zi ) (i 1,2,n) qk qk qk k k qi k 1
叫广义力。
则有：
W Qiqi 0
i 1
n
由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移是任意的， 所以有
Qi 0
2 1 2 2 1 2
E m2 l1l212 sin(2 1 ) 2 E 2 m2 l1 l21 cos(2 1 ) m2 l2 2 2 d E 2 ( ) m2 l1l21 (2 1 ) sin(2 1 ) m2 l2 2 dt 2 m l l cos( )
单自由度系统，用一个等效构件来代替原来的机械的 运动
d 1 dJe d Je 2 2 Me dt d dt
2 2
微分形式运动方程
5.1 引言—力学的发展过程
在有些情况下，需要应用二自由度或更多自由度的机械 系统，如差动轮系、倒立摆（2自由度），机器手等装置 （多自由度）。
(i 1,2,, n)
即，在理想约束下，系统平衡的充分必要条件是所有 的广义力为零。
三、 广义力计算 1、利用定义计算
rk Qi Fk k k qi (i 1,2, n)
将广义力写成计算公式：
xk yk zk Qi ( X k Yk Zk ) (i 12,......n) qi qi qi k
日本江本胜博士的水结晶试验
5.2 自由度与广义坐标 广义坐标： 能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫自由度。
一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
设系统广义坐标为：qi (i 1,2,, n) 则任一点位置矢量可表示为：rk rk (q1 , q2 ,, qn ) 可以写成投影形式：
1 1 2 2 E m1v A m2v B 2 2 v B v A v BA
v A v11 l l A 1 1 12 l 2 2 l 2 2 1 l l 2 2 cos( ) 2 2 2 m l m l l ) cos( ) 2 E v B(m1 1 m2 12 12 1 1 2 2 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 1 2 2
3)计算系统的势能及广义力 由于系统仅受二质点重力作用，故此系统为保守系统。 若取φ1= φ2=0作为零位置，在任意位置的系统势能为：
V m1 gl1 (1 cos 1 ) m2 g[l1 (1 cos 1 ) l2 (1 cos2 )] (m1 m2 ) gl1 (1 cos 1 ) m2 gl2 (1 cos 2 )
E m2 l1l212 sin(2 1 ) 1 E (m1 m2 )l121 m2 l1l 22 cos(2 1 ) 1 d E ( ) ( m1 m2 ) l121 m2 l1l22 (2 1 ) sin(2 1 ) dt 1 m l l cos( )
（3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所以约束力 不在方程中出现。
二、 虚位移原理的广义坐标形式
rk rk (q1, q2 ,, qn ) 求变分得：
代入虚功方程 得：
rk rk qi i 1 qi
n
W Fk rk 0
k
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk qi Fk i 1 k k qi
本章采用的方法：拉格朗日方程（重点）
二自由度机械系统动力学不采用等效力学模型法， 一般采用拉格朗日方程来建模。
在学习拉格朗日方程之前，必须掌握一些重要的概念， 如广义坐标、广义力、虚位移等。 首先了解一些科学史观，培养科学精神。
力学发展过程
3个100年 第一个100年,从牛顿的《自 然哲学的数学原理》开始 (1687),到18世纪后期。 本阶段还有伯努利、 欧拉、达朗伯等人。
2 1 2 2 1 1
(m1 m2 )l11 m2 l1l2 cos(2 1 )2 m2 l1l2 sin(2 1 )22
2 m2 l1l2 cos(2 1 )1 m2 l2 2 m2 gl2 in 2 0
(m1 m2 ) gl1 sin 1 非线性微分方程，只能求数值解 0
完整约束与非完整约束
完整约束(Holonomic constraint)包括： (1) 几何约束(Geometric constraint)； (2) 含时几何约束(Time dependent constraint)。
x y l ut) （
2 2
2
另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直 线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：
关于约束 对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。如单摆 的约束方程为：
x2 y 2 l 2
球摆的约束方程为： 约束分类：
x y z l
2 2 2
2
1.几何约束与速度约束 约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度时为 几何约束； 约束方程中含有质点的速度时为速度约束。
约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含有 2. 定常约束与非定常约束 时间t时为非定常约束。
求出相应的偏导数，代入广义力公式有：
Q1 (F1 F2 )l1 sin 1 Q2 F2 l2 sin 2
2、用虚功方法求Q1和Q2，可先令φ2=0，可得：
' WF F1 sin 1 rA F2 sin 1 rB Q1 1 1
由于 rA rB l11 代入上式得： 1 (F1 F2 )l1 sin 1 Q 再令φ1=0，可得：
x r
为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。
x r c
非完整约束为：含有速度的约束且约束方程不可积分。 本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况
5.3 虚位移原理与广义力
一、虚位移原理 在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是 所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即：
P Q1q1 Q2q2
则，广义速度前的系数就是对应的广义力。
例：图示系统中,杆OA和AB以铰链相连,O端为圆柱绞， B端自由,杆重及摩擦不计，杆长OA=l1，AB=l2，设二 杆均在铅垂面内,OA杆与铅垂线成φ1角，杆AB与铅垂 线成φ2角.今在点A和B分别作用铅垂向下的力F1和F2， 求在图示位置时的广义力。
W Qi qi
' p
W Qi qi
' p
对于二自由度系统，若能将主动力虚功之和直接表达成 与两个广义虚位移之间的关系，则表达式中广义虚位移 前的系数就是对应的广义力，即
WF Q1 q1 Q2 q2
此时,q1, q2均不为零. 工程实际中，虚位移转化为实位移，虚速度转化为实速 度，如对一具体的二个自由度机械系统能直接求出主动 力的功率与广义速度的关系式
'' WF F2 sin 2 rB Q2 , rB l22 Q2 F2 l2 sin 2 2 2
5.4 拉格朗日方程（第二类)
拉格朗日方程是分析力学的核心内容，其方程为：
d Ek Ek E p ( ) Qi dt qi qi qi (i 1, 2,3,, n)
当双摆作微幅振动时，则上式可简化为：
(m1 m2 )l m2 l1l22 (m1 m2 ) gl11 0 m l 2 m l 0 m2 l1l21 2 2 2 2 2 2