2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线（一）一、选择题1.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且斜率为13的直线与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，并且22F A F B =,则双曲线的离心率为( ）A BC.2D2.设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．73B C ．3D3.双曲线()22220,01x y a ba b −=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B ． C. 2 D 14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点, 若3PF MF =，则MN =（ ）A ．163B ．8C ．16 D5.知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>，A 1、A 2是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i PA A i ∆=构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．)+∞6.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AACF 的面积为l 的方程为A ．x =B ．x =−C ．2x =−D ．1x =−7.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b−=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ8.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，F 1，F 2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=−没有交点”的概率为（ ）A ．4B ．44 C ．2D ．229.已知直线1y x =−与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为a b =（ ）A ．27− B ．2−C ．2−D ．3−10.过双曲线2213y x −=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．C ．6D ．11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，(0,6)P ，O 为坐标原点，则四边形OP AB 面积的最小值为（ ） A ．74B ．134C ．3D ．412.若双曲线22131x y m m −=−+的一条渐近线方程为230x y −=，则m 的值为（ ） A ．313B ．2313C ．35D ．7513.已知双曲线22221x y a b−=的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ） A ．||||OB e OA = B ．||||OA e OB =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定14.已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．103B ．113C ．4D ．13315.已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．3B ．3C ．3D ．216.双曲线)0(12222>>=−b a by a x 离心率的范围是（ ）A.），（21 B. ），（∞+1 C.），（∞+2 D. ），（221+ 17.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ，则p 为（）A ．34B ．2C ．38 D ．31618.已知过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点且斜率为a b 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足→→→→=++0OP OB OA （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A ．22 B．33 C.23D ．2119.已知点F 1是抛物线C ：22x py =的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ▲ ） A 62− B 21C 21D 62+20.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +−=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x += B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=21.已知双曲线C ：22221x y a b−=()0,0a b >>的虚轴长为8，右顶点(a ，0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y −=B ．221169x y −= C.2212516x y −=D ．2211625x y −=22.已知圆C ：2222310x y x y ++++=与双曲线22221(0,0)y x a b a b−=>>的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．263B ．233C ．43D ．723.设双曲线22221(00)x y a b a b −=>>，的右焦点为F ，过点,λμ作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．355C.322D ．9824.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．525.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题26.过点()0,1M 的直线l 交椭圆22184x y +=于A ，B 两点，F 为椭圆的右焦点，当△ABF 的周长最大时，△ABF 的面积为 ．27.已知F 1，F 2分别为双曲线22:1412x y C −=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，G ，I 分别为12F PF ∆的重心、内心，若GI ∥x 轴，则12F PF ∆的外接圆半径R = .28.已知点P 在离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且120PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为 ．29.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．30.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．31.平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b +=（0a b >> ）的离心率32e =，1A ，2A 分别是椭圆的左、右两个顶点，圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q .则2PQ PA = ．32.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB AB ⊥时，其离心率为512−，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于 .33.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.34.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F O ，为坐标原点，点M N ，为抛物线准线上相异的两点，且M N ，两点的纵坐标之积为4-，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B两点，若AF B ，，三点共线，则=p _______.35.已知抛物线x y 82=上有一条长为9的动弦AB ，则AB 中点到y 轴的最短距离为 .36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e = .37.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．38.设F 1，F 2为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.39.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.40.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足 60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ．41.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，E 为其标准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且||20ME =，则||AB = ．参考答案1.A2.C3.B4.A5.B6.A7.D8.A9.B10.D11.B设A(x ,y ),B(x ,y )1122且x ,y >110,易知)0,1(F ，设直线1:+=my x AB由,0444122=−−⇒⎩⎨⎧=+=my y xy my x 所以122144y y y y −=⇒−=21111312(0)42OPAB OPA OFA OFBy S S S S y y y ∆∆∆=++=++>22223222)443)(1(24322123)()0(22143)(x x x x x x x x x x f x x x x x f ++−=−+=−+='⇒>++=易知)(x f 在()1,0上为减函数，所以当11=y 时，min 13()4OPAB S =,故选B12. A双曲线22131x y m m −=−+的一条渐近线方程为230x y −=，可得 (3)(1)0m m −+>，解得(1,3)m ∈−，因为130+−−=m x m y 是双曲线的渐近线方程，所以1233m m +=−， 解得313m =，故选A. 13.C，内切圆与x 轴的切点是A ，∵，由圆切线长定理有， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即， ∴，即A 为右顶点， 在中，由条件有，在中，有，∴.14.D 设椭圆 的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以 15.A设椭圆离心率1e ，双曲线离心率2e ，由焦点三角形面积公式得22123b b =，即2221234a a c +=，即2212134e e +=，设221211,34m n m n e e ==+=即， 由柯西不等式得m n +最大值为433. 16.A 17.C18.A 设的中点，由题意知，两式相减得，则，而，所以，所以直线的方程为，联立，解得，又因为，所以, 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.19.C 由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.20.C 设椭圆方程为联立方程：，整理得：,设，，则，即，化简得：，又，易得：，∴此椭圆的方程是故选：C 21.A22.B23.A24.A∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c += 解得2ca=，即2e =.25.C 由221x y x y +=+得,221y x y x −=−,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D −,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.26.3104 27.5 28.612− 29.52 30. 625122e −−<<31.37 如图所示，设， 则，椭圆方程为，圆的方程为，直线与圆相切，则：，，直线是斜率为，直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程：，整理可得：，即，由弦长公式可得：，在中，，故.32.215+“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，则，，∵，∴，∴， ∴， 解得或（舍去），∴黄金双曲线”的离心率e 等于．33.331−34.235.25 易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.36.31−37.2由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.38.(3,15) 已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=−=MF a MF ,415828sin 2221=−=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.39.15方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c=，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y −+=，联立方程22195x y += 可解得321,22x x =−=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,22P ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c=， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x −=⇒=−求得315,22P⎛⎫−⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==.40.141.8F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（-1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8.。