第十一讲
主要内容：常用方阵函数的一些性质，方阵 函数在常系数常微分方程组中的应用
常用方阵函数的一些性质 性质 1 证明
性质 2 若
满足
,则
或更一般的有
，
. 证明 利用矩阵乘法的线性性和逐次交换次
序即可. 性质 3 若
满足
,则
. 证明 由性质 2,只需证明
即可.
令
,则
所以
是常值矩阵。特别地，由 立得结果.
推论 对
,
性质 4 对
,有
证明 性质 5 若 证明
.
满足
,则
性质 6 对
，有
证明
. 性质 7
证明
性质 8 若 ,则
征值属于
证明 。
有特征值属于
不可逆；若
有特
，则 不可逆.
5.6 方阵函数在微分方程组中的应用
一阶线性常系数齐次常微分方程组
一般形式 (1)
引入矩阵表示
则(1)可改写为 由
从而(2)的通解为 现在求初值问题
(2)
得
，
(3)
(4)
的解。在通解(3)中适当选取 使得(4)的初始 条件得到满足，即取 满足
，所以初值问题(4)的解为 (5)
一阶线性常系数非齐次常微分方程组 一般形式
(6) 由
，所以 (6)的通解为
(7) 求初值问题
(8) 的解。在(7)中适当选取 使得(7)满足(8)的初 始条件得
(9) 例 1 求解初值问题
解 先将问题改写成矩阵形式，令由(9)知初值问题的 Nhomakorabea为 下面计算
令
解得 从而
。
，由方程组
。
所以
练习 求解 Cauchy 问题 习题 p128，19，20，21