第三章 受剪板式薄壁结构内力和位移计算3-1分析下图所示各平面薄壁结构的几何不变性，并计算多余约束数f 。

1(a)(b)(c) (d)(e) (f)分析：平面四边形板f=1，三角板f=0；一个“内十字”结点增加一次静不定。

结构分析有：增加元件法，去掉约束法。

解：(a)几何不变系统，有多余约束f=8.增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有9个“内十字”结点。

因而f=9-1=8.(b)几何不变系统，有多余f=5.增加元件法：将开洞处的一块板补全，切开端口杆的杆端处连上，则系统有4个“内十字”结点，外部多余约束数为3，对于端口切开的杆：丁字节点6处为零力杆端切开与否对静不定次数无影响，而处于“内十字”结点处的5处，则解除一次静不定。

因而f=4+3-1-1=5.(c)几何不变系统，有多余约束f=4.有4个“内十字”结点。

因而f=4.(d)几何不变系统，有多余约束f=3.增加元件法：将开洞处的一块板补全，则系统有4个“内十字”结点。

因而f=4-1=3.(e)几何不变系统，有多余约束f=21.有21个“内十字”结点。

因而f=21.(f)几何不变系统，有多余约束f=12.有12个“内十字”结点。

因而f=12.3-2分析下图所示空间薄壁结构的几何不变性，并计算多余约束数f。

(a)(b)(c) (d)(e)(f)(g) (h)6(i)(j)67(k)(l)78(m)(n)(o)分析：三缘条盒段若以四边形面与基础连接则有1次静不定（进行结构分析：视结点为自由体有3个自由度，板和杆各自起一个约束作用），若以三边与基础相连则为无多余约束的静定结构；对于一端固定的一段空心薄壁结构，端框有n个结点，其静不定次数为(n-3),故单边连接的四缘条盒段有1次静不定；对于四缘条盒段若以相邻两面和基础相连则由结构分析可知有3次静不定；对于三缘条盒段若以一边为三角形另一边为四边形和基础相连则由结构分析可知有2次静不定，若以双边四边形形式连接三缘条盒段则静不定次数为3。

解：(a)几何不变系统，多余约束数f=4。

增加元件法：将开洞处的板1-2-3-4补全，为5个单边连接的四缘条盒段。

因而f=5-1=4。

(b)几何不变系统，多余约束数f=3.增加元件法：将开洞处的板1-2-5-6、2-3-4-5补全，依次为一个三缘条盒段以四边形面与基础连接有1次静不定和四个四缘条盒段单边连接有1次静不定。

因而f=1+4-2=3.(c) 几何不变系统，多余约束数f=4.一个单边连接四缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。

因而f=1+3=4.(d)几何不变系统，多余约束数f=3.一个单边连接三缘条盒段，一个双边连接四缘条盒段。

因而f=3.(e)几何不变系统，多余约束数f=8.一个单边连接三缘条盒段，两个双边连接四缘条盒段，一个双边连接三缘条盒段。

因而f=2×3+2=8.(f) 几何不变系统，多余约束数f=2.进行结构分析，短的四缘条盒段与基础为单边连接静不定次数为1，在此基础上增加了4个结点，5个板，8根杆。

因而f=1+5+8-4×3=2.(g) 几何不变系统，多余约束数f=2.以自由短四缘条盒段为基础，静定结构；以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定次数为1；单边连接四缘条盒段，静不定次数为1。

因而f=1+1=2.(h) 几何不变系统，多余约束数f=10.以四边形形式单边连接三缘条盒段，静不定次数为1；连个双边连接的四缘条盒段，静不定次数为2×3；双边四边形形式连接三缘条盒段，静不定次数为3。

因而f=1+2×3+3=10.(i) 几何不变系统，多余约束数f=2.两个以单边四边形方式连接的三缘条盒段。

f=2×1=2.(j)几何不变系统，多余约束数f=5.单层端框有六个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为1；单端固定的单层端框有六个结点的有一个隔框笼式结构静不定次数为（6-3+1）.因而f=1+（6-3+1）=5。

(k) 几何不变系统，多余约束数f=3.单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数为（6-3）。

因而f=3.(l) 几何不变系统，多余约束数f=14.为两个单端固定的单层端框有八个结点的有两个隔框笼式结构静不定次数2×（8-3+2）.因而f=14.(m)几何不变系统，多余约束数f=7.单端固定的单层端框有八个结点的空心笼式结构静不定次数（8-3）；增加元件法：将开洞处的板补全后为单端固定的单层端框有六个结点的空心笼式结构静不定次数（（6-3）-1）。

因而f=7.(n) 几何不变系统，多余约束数f=32.一个三缘条盒段以四边形面与基础连接结构静不定次数为1；七个单边连接的四缘条盒段结构静不定次数为7；七个四缘条盒段双边连接结构静不定次数为7×3；再加两根杆和一个四边形板，三个约束。

因而f=1+7+7×3+3=32.(o) 几何不变系统，多余约束数f=31.一个自由的单层端框有10个结点的空心笼式结构为静定结构；三个单端固定的单层端框有10个结点的空心笼式结构静不定次数为3×（10-3）；增加元件法：将开洞处的板补全后为依次连接两个单端固定的单层端框有9个结点的空心笼式结构静不定次数 2×（（9-3）-1）.因而f=31.3-3 平面薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图所示。

求各元件内力并作内力图。

2(a) (b)(c) (d)1234567P aa aa1234578aaPP2P2P(e) (f)PPaaa2a2345678(g)(a)解：(a)静定结构。

零力杆端：023=-N ，014=-N ，043=-N ，012=-N 。

取2-3杆aP q =；取杆3-4a Pb qb N /34==-； 取1-2杆a Pb qb N /21==-；取1-4杆P qa N ==-41校核总体平衡，满足。

内力图：(b)静定结构。

零力杆端：0,0,0234312===---N N N .取总体平衡分析得：P N P N =-=--1241, 取2-3杆cP q 223=；取2-1杆P N =-21,cP q =； 从而c P q q q 2//23214==；取1-4杆1414/2N q c P P -=-=-；验证结构剩余局部3-4杆的平衡，满足。

内力图：PPb/aPb/aq=P/aP(c)静定结构。

零力杆端：0,0,0,0,0,0653654343212======------N N N N N N 分析总体平衡得：P N P N ==--4521, 对称结构，受对称载荷，内力具有对称性。

取1-2杆q=P/c;取2-3杆c Pb qb N /23==-； 取1-6杆c Pb N /16=-验证结构剩余局部3-6杆的平衡，满足。

内力图：PP P0.5P(d)静定结构。

零力杆端：,0,0,0,0,0,0,0,0,0,09687986545968949924323===========-----------N N N N N N N N N N N分析总体平衡得P N P N ==--6721,. 对称结构，受对称载荷，内力具有对称性。

a P q /=；取4-9杆，取3-4杆，a Pb qb N /34==-；取2-3杆，P qa N ==-32；取1-2杆，012=q ；取2-9杆，a Pb qb N /92-=-=-PPPb/cPPq=P/cq=P/cPb/c取结点2，12-N 32-N ,P N N ==--3212.验证其余局部结构平衡，满足。

内力图：(e)静定结构。

零力杆端：0,0,0,063345445====----N N N N取4-5杆得0=q ,即4-3-6-5板上无剪流分布。

从而043=-N ，则320N -=取总体平衡60M =∑，得122N P -=-， 取结点2 得272P N -=，232P N -=- 取杆3-2，有02P q a=取杆6-3，有632P N -=-校核总体平衡，满足。

内力图：PPP PPPPb/aPb/aq=P/aq=P/a(f)静定结构。

零力杆端:.0,00,0,0,0,0,02152233454568767========--------N N N N N N N N杆3-4 2P q a=杆2-3 232N q a P -=-=- 杆5-4 542N q a P -== 杆7-6 32Pq a=， 杆5-6 5632N q a P -== 杆8-7 8732N q a P -=-=- 节点5 有 522N P -= ，58N P -= 杆2-5 122q a q a P += ，得 1P q a= 杆1-2 211N q a P -=-=-杆1-8 8110N q a P -++= ，得812N P -=- 校核总体平衡，满足。

内力图：0.5PP(g)静定结构。

零力杆端：,0,0,0,0,0,0,05654348576877121========--------N N N N N N N N取2-3杆得P N =-32;取结点2得''2821,22N P N P --=-=; 取1-2杆得12q a =;取1-7杆得P N 2217=-; 取3-4杆得aPq 221=； 取3-8杆得P a a Pa aq a a q N 22218338==⨯==--; 取结点8得P N 278=-;取7-8杆得aP q 222=； 取2-8杆得82128N q a N --=-+=; 取结点8得P N N 22858-=-=--;PP2P杆3-434q-==则38qa-=，544qa-=内力图：3-4空间薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图，求各元件的内力并作内力图。

1H(a)(b)2PP2P(c) (d)HH 1(e) (f) 解：(a)静定结构，受自平衡力系。

零力杆端:2343321234144121873767267656487858856515--------------------N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、由杆1-2，2-3，3-4，8-7，1-4，5-8，知六个面的剪流大小相等，记为q 取2-6杆，由P Lq=2得LP q 2=; 分别取其余各杆进行分析可得:P N P N P N P N =-==-=----73845162,,, 内力图:(b)静定结构。

零力杆端:843414437323326212412151,,,,,,,,,,,------------N N N N N N N N N N N N记面1-2-6-5内剪流为1q ，面2-3-7-6内剪流为2q ，面4-3-7-8内剪流为3q ，面1-4-8-5内剪流为4q取杆1-2 有1q q = ， 取杆4-3 有3q q = 取杆2-3 有22231H q q qH == ， 取杆1-4 有14142H q q q H == 取杆2-6 有21()H q qL P H += 得112()PH q L H H =+ 取杆1-5 有1512()0H qq L N H -++= 得1512PH N H -=- 取杆3-7 有273231()()H N q q L qq L P H -=-+=-+=- 取杆4-8 有11843422()()H PH N q q L q q L H H -=+=+= 内力图:PPPP(c)静定结构。