第四章 力法4-1 利用对称与反对称条件，简化图4-15所示各平面刚架结构，要求画出简化图及其位移边界条件。
P P(a)(a)解：对称结构，在对称载荷作用下，在对称轴上反对称内力为零。
由静力平衡条件∑=0X可得23P N =再由两个静力平衡条件，剩余4个未知力，为二次静不定。
本题中通过对称性条件的使用，将6次静不定的问题转化为2次静不定。
1PP(b)(b)解：对称结构，在反对称载荷作用下，在对称轴上对称的内力为零。
受力分析如图所示有2根对称轴，结合平衡方程，剩下三个未知数，为3次静不定。
本题中通过对称性条件的使用，将6次静不定问题转化为3次静不定。
(c)(c)解：对称结构，在对称载荷作用下，在对称轴上反对称内力为零。
有一根对称轴，减少了两个静不定度本题中通过对称性条件的使用，将3次静不定问题转化为1次静不定。
4-2图4-16所示桁架各杆的EA均相同，求桁架各杆的内力。
(a)(a)解：1、分析结构静不定次数。
结构有4个结点8个自由度，6根杆6个约束，3个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
切开2-4杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
1234P-P √2P<P>1234P<1>11√22√22√22√22计算影响系数∑=∆EAl N N i p P 11()2422222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=EA Pa P P EA a ∑=EAl N i1211δ()22222142222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=EA a EA a 列正则方程：()()02242221=+++P X解之()P X 42321-=3、由11N X N N P +=，得()P X N 423220112-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+= ()P X P N 42212113+=⋅+=()P X N 423220114-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=()P X N 423220123-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=()P X N 423210124-=⋅+=()P X P N 42122134+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-=4、校核。
结点2：0=∑X ∑=0Y 结点3：0=∑X ∑=0Y(b)(b)解： 1、分析结构静不定次数。
结构有4个结点8个自由度，5根杆5个约束，4个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
切开2-4杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
2√2P 22<P>123411>1<√22√22√22计算影响系数∑=∆EAl N N ip P 11()221222222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯=EA Pa P P EA a ∑=EAl N i1211δ()243222132222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=EA aEA a 列正则方程：()()0212431=+++P X解之()P X 23521+-= 3、由11N X N N P +=，得()P X P N 2312142222112+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=()PX P N 232181113-=⋅+=P X P N 182912222123--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-=P X N 232510124+-=⋅+= P X P N 182912222134-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-=4、校核。
结点2：0=∑X ∑=0Y 结点3：0=∑X ∑=0Y(c)(c)解：1、分析结构静不定次数。
结构有4个结点8个自由度，3根杆3个约束，6个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
切开1-2杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
234P-2P √3P<P>2341-2√3<1>计算影响系数()()()3243232231+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+-⨯=∆EA PaP P EA a P()32621132332211+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯=EAaEA a δ 列正则方程：()()03243261=+-+X 解之 ()P X 6331+=3、由11N X N N P +=，得 ()P X N 63310112+=⋅+=()P X P N 23332123-=⋅+-= ()()P X P N 333223124-=-⋅+= 4、校核。
结点2：0=∑X ∑=0Y(d)(d)解：1、分析结构静不定次数。
结构有4个结点8个自由度，5根杆5个约束，4个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
切开1-2杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
计算影响系数EAPcP EA c P 3223131=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=∆ ()332333312313111+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯=EAcEA c δ 列正则方程：()023321=++P X 解之()P X 233641-=3、由11N X N N P +=，得()P X N 2336410112-=⋅+=()P X P N 23396313113-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-= ()P N N 233961314-==()P X N 2336410123-=⋅+=()P N N 233642324-==4、校核。
结点2：0=∑X ∑=0Y 结点3：0=∑X ∑=0Y4-3 图4-17所示平面刚架的EJ 为常数，求刚架的弯矩并绘制弯矩图。
(a)(a)解： 1、由于结构对称，取其一半为计算模型。
2、分析计算模型静不定次数。
计算模型由1根杆3个自由度，4个外部约束。
因此计算模型的静不定次数为1，f=1。
3、取基本状态。
切开1-2杆，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
R 12P12Pα<P>12α<1>M=1<P>状态：()1cos sin 2-+=ααPRM P <1>状态：αcos 1=M 计算影响系数()()EJ PR d PREJP82cos 1cos sin 21201-=⋅-+=∆⎰πααααπEJd EJ4cos 120211πααδπ==⎰列正则方程： ()02211=-+PR X ππ 解之()ππ221PR X -=4、由11N X N N P +=，得 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅+-+=1cos 2sin 2cos 1cos sin 21απααααPR X PR M 5、校核。
(b)(b) 解：1、分析结构静不定次数。
结构有1根杆3个自由度，4个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
去掉可动铰支座，取<P>,<1>状态，各杆内力如图。
234<P>αP234<1>α<P>状态：23段：αsin 23PR M P = 34段：PR M P =34<1>状态：23段：023=M 34段：x M =23 计算影响系数312121PR PR R R P =⨯⨯=∆ 3211313221R R R =⨯=δ列正则方程：0321=+P X 解之P X 231-= 3、由11N X N N P +=，得23段：αsin PR M =34段：PR x X PR M =⋅+=1P 23-x 4、校核。
4-4 求图4-16(a)、(b)、(c)桁架结构点2的水平位移；图(d)桁架结构点2的垂直位移。
(a)解：由4-2(a)的解答，在基本系统的2点加水平单位力，内力如图。
1234101因此2点的水平位移， ∑=∆EANl N P x 2()()Pa EAP EA a 4231423-=⨯-⨯=(b)解：由4-2(b)的解答，在基本系统的2点加水平单位力，内力如图。
123411因此2点的水平位移， ∑=∆EA Nl N P x 2()()Pa EAP EA a 2322181232218-=⨯-⨯=(c)解：由4-2(c)的解答，在基本系统的2点加水平单位力，内力如图。
2341-2√3因此2点的水平位移∑=∆EA Nl N P x 2()()()Pa EAP EA a P EAa333334225332=⨯-⨯+-⨯-⨯=(d)解：由4-2(d)的解答，在基本系统的2点加垂直单位力，内力如图。
2341-1-1100因此2点的垂直位移， ∑=∆EANlN P y 2()()()Pc EAP EA c 693836123364332-=-⨯-⨯⨯=4-5 求图4-18所示静不定刚架结构在常剪流q 作用下B 截面的转角。
图 4-18解： 1、分析结构静不定次数。
结构有1根杆3个自由度，4个外部约束。
因此结构静不定次数为1，f=1。
2、取基本状态。
去掉可动铰支座，取<P>,<1>状态，各杆内力如图（弯矩顺时针为正）。
α<P>PB<1>1B<P>状态：()()αααααsin cos 120--=-⋅-=⎰qR R qRd M P<1>状态：αsin 1R M =计算影响系数()()()4202144sin sin 1qR EJd R R qR EJpπααααπ-=⋅--=∆⎰()3202114sin 1R EJRd R EJπααδπ==⎰列正则方程；()041=-+qR X ππ解之qR X ππ41-=3、由11N X N N P +=，得()()⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅+--=ααπαααsin 4sin sin 212qR R X qR M 4、在基本系统的1点加上单位弯矩，顺时针为正，内力如图：M=1B1'=P M 因此B 截面的转角，EJ qR Rd qR EJ B 32202841sin 41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰ππαααπϕπ。