课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以P Q 为直径的圆过点F .解：(1)法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF ―→∥BD ―→，又BF ―→＝(c －x 0，－y 0)，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.法二：连接OD ，AB (图略)，由题意知，OD 是△CAB 的中位线，∴OD 綊12AB ，∴△OFD ∽△AFB .∴OF AF ＝OD AB ＝12，即c a －c ＝12， 解得a ＝3c ，从而e ＝13.(2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1，x 29＋y 28＝1消去x 得，(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0， ∴y 1＋y 2＝－16n8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为yy 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2，从而FP ―→·F Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n (y 1＋y 2)＋4＝64＋36×(－64)8n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n 28n 2＋9＋4＝64＋36×(－64)36＝0.∴FP ⊥F Q ，即以P Q 为直径的圆恒过点F .2．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|P Q |的最大值． 解：(1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以－1<x －12<1，即直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)设直线AP 的斜率为k.则直线AP 的方程为y －14＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋12k ＋14＝0，因为直线B Q 与直线AP 垂直，所以直线B Q 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|PA |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)，|P Q |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|P Q |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 令f ′(k )＝0，得k ＝12或k ＝－1(舍去)，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|PA |·|P Q |取得最大值2716.3．(2018·浙江重点中学12月高三期末热身联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有相异的两点A ，B .A ，O ，B 三点不共线，O 为坐标原点，且直线AB ，OA ，OB 的斜率满足k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB >0)． (ⅰ)求证：|OA |2＋|OB |2为定值；(ⅱ)设△AOB 的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意可知，a ＝2b ，故椭圆方程可化为x 24b 2＋y 2b 2＝1，∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12， ∴34b 2＋14b2＝1， 解得b ＝1(负值舍去)，∴a ＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k AB x ＋m (k AB >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵k 2AB ＝k OA ·k OB (k AB >0)， ∴k 2AB＝y 1y 2x 1x 2＝(k AB x 1＋m )(k AB x 2＋m )x 1x 2，化简得k AB m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∵A ，O ，B 三点不共线，∴m ≠0， ∴k AB (x 1＋x 2)＋m ＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k AB x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，整理，得(1＋4k 2AB )x 2＋8k AB ·mx ＋4(m 2－1)＝0， 由根与系数的关系可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8k AB m1＋4k 2AB，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k2AB. ②Δ＝16(1＋4k 2AB －m 2)>0，③将②代入①中得k AB ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k AB m 1＋4k 2AB ＋m ＝0(k AB >0)，解得k AB ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，④(ⅰ)证明：|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34x 21＋34x 22＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2， 将④代入得|OA |2＋|OB |2＝34×[4m 2－2×2(m 2－1)]＋2＝5.(ⅱ)设点O 到直线AB 的距离为d ， 则S ＝12|AB |·d ＝121＋k 2AB |x 1－x 2|·|m |1＋k 2AB＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2|m |＝2－m 2|m |.由③及k AB ＝12可得m ∈(－2，0)∪(0，2)，则S ＝2－m 2|m |＝(2－m 2)m 2≤2－m 2＋m 22＝1，当且仅当m ＝±1时，等号成立．∴S 取最大值时，直线的AB 方程为y ＝12x ＋1或y ＝12x －1.4．(2018·宝鸡质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC ―→·BD ―→＝0，求|AC ―→|＋|BD ―→|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2的面积取得最大值， 此时S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|OP |＝bc ，所以bc ＝43，因为e ＝c a ＝12，所以b ＝23，a ＝4，所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得，F 1的坐标为(－2,0)， 因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC ―→|＋|BD ―→|＝6＋8＝14. ②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时， 设其方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 则x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2. |AC ―→|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．同理由⎩⎨⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y212＝1，可得|BD ―→|＝24(k 2＋1)4＋3k 2，|AC ―→|＋|BD ―→|＝24(k 2＋1)3＋4k 2＋24(k 2＋1)4＋3k 2＝168(k 2＋1)2(4＋3k 2)(3＋4k 2)， 令t ＝k 2＋1，则|AC ―→|＋|BD ―→|＝168t 2(3t ＋1)(4t －1)＝16812＋t －1t2(t >1)，因为t >1,0<t －1t 2≤14，所以|AC ―→|＋|BD ―→|＝16812＋t －1t2∈⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|AC ―→|＋|BD ―→|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.5．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且|P Q |＝8，线段P Q 的中点到y 轴的距离为3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线C 上相异的两点，满足x 1＋x 2＝2，且AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解：(1)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则P Q 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋x Q 2，y P ＋y Q 2.由题意知x P ＋x Q2＝3，∴x P ＋x Q ＝6，又|P Q |＝x P ＋x Q ＋p ＝8，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x 消去y 并整理，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2kb k2＝2，得b ＝2k －k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k . ∵AB 中点的横坐标为1， ∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k . 可知AB 的中垂线的方程为y ＝－1k x ＋3k ，∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0， ∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k2＝2k 2＋1|k |.由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8－4k 2k 2，∴|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2.设△AMB 的面积为S ， 则S ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 2 1－1k2. 设1－1k2＝t ，则0≤t <1， ∴S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63(负值舍去)， 即k ＝±3时，S max ＝1669， 此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.6.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为抛物线上的点(第一象限)，直线l 与抛物线相切于点P .(1)过P 作PM 垂直于抛物线的准线于点M ，连接PF ，求证：直线l 平分∠MPF ；(2)若p ＝1，过点P 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，求|AB ||AP |＋|AB ||A Q |的取值范围．解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，因为点P 不是抛物线的顶点，所以直线l 的斜率存在，设为k ，则k ＝p y 0，所以切线l ：y －y 0＝py0(x －x 0)，即y 0y ＝p (x ＋x 0)．设切线l 与x 轴交于点C ， 则C (－x 0,0)，所以|FC |＝x 0＋p2，由抛物线的定义得|PF |＝|PM |＝x 0＋p2，所以|PF |＝|FC |，所以∠PCF ＝∠FPC ＝∠MPC ， 因而直线l 平分∠MPF .(2)由(1)及已知得，过点P 且与l 垂直的直线的斜率为－y 0p ＝－y 0，因而其方程为y －y 0＝－y 0(x －x 0)，则A (x 0＋1,0)，B (0，x 0y 0＋y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y －y 0＝－y 0(x －x 0)得y 2＋2y 0y －2(x 0＋1)＝0，由y 0和y Q 为方程的两个根得，y 0＋y Q ＝－2y 0，因而y Q ＝－2－y 20y 0＝－2(x 0＋1)y 0.所以|AB ||AP |＋|AB ||A Q |＝|y B ||y P |＋|y B ||y Q |＝|x 0y 0＋y 0||y 0|＋|x 0y 0＋y 0||－2(x 0＋1)y 0|＝2x 0＋1，因为x 0>0，所以2x 0＋1>1，所以|AB ||AP |＋|AB ||A Q |的取值范围为(1，＋∞)．。