[ ] τ8
=
1 3
(σ 1
) − σ 2 2
+ (σ 2
) − σ 3 2
+ (σ 3
) − σ1 2
Uφ0
=
3
τ
2 8
4G
形状变化应变能密度与八面体剪应力和弹性常数有关
（四）虚功原理
虚功
设一物体在体力Fi和面力Ti作用下处于平衡，其体积为V， 表面积为S。假想给物体一个任意微小的且约束许可的虚位 移δui，则实际力系在虚位移δui上所做的功称为虚功。
+σ y
;
γ zx
=
1 2G
τ
zx
定 律
（三）弹性变形能
弹性变形能
物体由于外力作用而产生弹性变形，使物体内积蓄的能量
弹性变形能密度
单位体积内积蓄的弹性变形能
（三）弹性变形能
简单加载时的弹性变形能密度
单拉
U0
=
1 σε
2
=
1 2
σ2
E
纯剪
U0
=
1 τγ
2
复杂加载时的弹性变形能密度
U0
=
1 2
σ
εij
虚功原理 线弹性条件
∫∫∫ FiδuidV + ∫∫TiδuidS = ∫∫∫σ ijδεijdV
V
S
V
∫∫∫ δU = σ ijδεijdV = σ ijδεij V
( ) U = U εij = U (ui )
∫∫∫δU (ui )dV − ∫∫∫ FiδuidV − ∫∫TiδuidS = 0
[ ] ( ) ( ) U0 σi
=
1 2E
σ2 1
+
σ
2 2
+
σ
2 3
− 2ν
σ1σ 2
+ σ 2σ 3 + σ σ3 1
( ) ( ) ( ) ( ) U0 εij
=λ
2
εx
+εy
+εz
2
+
G
ε
2 x
+
ε
2 y
+
ε
2 z
+
2G
ε2 xy
+
ε
2 yz
+
ε
2 zx
( ) ( ) ( ) U0 εij
3E
(σ 1
+σ2
) + σ 3 2
σm
=
1 3
(σ 1
+σ2
+σ3)
εv
=
3(1− 2ν
E
)σm
=
1− 2ν E
(σ 1
+σ2
+σ3)
体积变化应变能密度取决于弹性常数及平均正应力
（三）弹性变形能
[ ] Uφ0
= U 0 −UV0
= 1+ν
6E
(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2
τ
xy
= ε xy
( ) ∂U0 σ ij
∂σ ij
= ε ij
( ) ∂U0 εij
∂ε ij
= σ ij
（三）弹性变形能
体积变化应变能密度+形状变化应变能密度
由于形状变化积蓄的弹性应变能 由于体积变化积蓄的弹性应变能
U 0 = UV0 + Uφ0
UV0
=
3
×
1 2
σ
mε
m
=
1 2
σ
mε
v
=
1− 2ν
V
V
S
假设在虚位移下物体的几何和形状不变，
外力的方向及大小不变
δ
∫∫∫U
(ui
)dV
−
∫∫∫ FiuidV
−
∫∫TiuidS
=
0
V
V
S
δ (U −W ) = δ ∏P = 0
在所有满足给定的几何边界条件的位移场中，其真实的位移 场总是使总势能取最小值
（二）弹性变形本构关系
西北工业大学博士学位论文开题报告
σ
单向拉伸时，当 σ < σs，应力应变的关系是线性的
σ = Eε
虎
克 纯剪切状态下，弹性阶段，线性 定
τ = 2Gγ
律 σ
参数
E－弹性模量 G－剪切模量
G
=
E
2(1 +ν
)
τ γ
τ
（二）弹性变形本构关系
材料在复杂应力状态(σx, σy, 西σz ,北τx工y, τ业yz, τ大zx)学作博用士下 学位论文开题σ报x 告
第四章 弹性应力应变关系和弹性问题求解
本节课主要内容：
（1）弹性理论的基本假设 （2）弹性变形本构关系 （3）弹性变形能 （4）虚功原理 （5）最小总势能原理 （6）圣文南原理 （7）线性叠加原理 （8）弹性问题的求解 （9）例：矩形截面梁的纯弯曲
(一) 弹性理论的基本假设
◇弹性理论的研究对象——理想弹性体 （1）物体是连续的
应力、应变、位移等都是坐标的连续函数
（2）物体是均匀的
弹性常数不随位置坐标而改变
（3）物体各向同性
弹性常数不随方向而改变
（4）物体是完全弹性的
(一) 弹性理论的基本假设
◇弹性理论与塑性理论 （1）线性弹性理论以理想弹性体的微小位移和源自变为前提（2）非线性弹性理论
物体变形不是很微小
（3）塑性理论
物体中应力超过弹性极限，物体将处于塑性流动状态， 此时，应力应变关系不再是弹性关系
在σx单独作用时，由虎克定律得
εx
=
σx E
εy
= εz
=
−νε x
=
−ν
σx
E
x
同理，在σy , σz分别单独作用时
εy
ε = σ y
E ij
=ε
ε ′x
=
ij
ε+z
=δ
εi−j νεmy
==
−ν1σ σy
2GE
′
ij
+ 1− 2ν
E
σ mδ ij
z
y
εz
=
σz
E
εx
=
εy
=
−νε z
=
−ν σ z
虚功原理的位移变分方程 利用高斯散度定理来证明
δW = δU
∫∫∫ FiδuidV + ∫∫TiδuidS = ∫∫∫σ ijδεijdV
V
S
V
虚功原理的证明并没有涉及应力与应变之间的关系，因此，适用于 任何连续体，并不只限于弹性体。 虚功原理与平衡微分方程和应力边界条件实际上是等价的。
（五）最小总势能原理
ij
( ) U0
=
1 2
σ ε1 1 + σ 2ε 2
+ σ 3ε 3
（三）弹性变形能
U0
=
1 2
σ
εij
ij
广义虎克定律
( ) ( ) ( ) ( ) U0 σij
=
1 2E
σ
2 x
+σ
2 y
+σ
2 z
−ν
E
σ xσ y
+ σ yσ z
+ σ zσ x
+
1 2G
τ2 xy
+
τ
2 yz
+
τ
2 zx
虚功原理
在外力作用下处于平衡状态的物体，当经受微小虚位移δui 时，外力在虚位移δui上所做的总虚功δW，等于虚位移δui在 物体内部所引起的总虚应变能。
（四）虚功原理
外力所做的虚功
δW = ∫∫∫ FiδuidV + ∫∫TiδuidS
V
S
物体内总虚应变能
∫∫∫ δU = σ ijδεijdV V
简E
σx
因此，在σx , σy , σz共同作用时为 记
当 τxy 单独作用时
[ ( )] εx
=
1 E
σx
−νε
y
−νε z
=
1 E
σx
−ν
σy
+σz
;
γ xy
=
1 2G
τ
xy
广 义
[ ] ε y
=
1 E
σy
−ν (σ z
+σx)
;
γ yz
=
1 2G
τ
yz
虎 克
[ ( )] εz
=
1 E
σz
−ν
σx
=λ
2
ε1 + ε2
+ε3
2
+G
ε2 1
+
ε
2 2
+
ε
2 3
（三）弹性变形能
上式对σx求偏导
( ) ( )
∂U
0
σ ij
∂σ x
=
1 E
σ
x
−ν
E
σy +σz
= εx
( )
∂U0 σ ∂σ y
ij
=εy
( ) ∂U0 σ ij
∂σ z
= εz
同理
( )
∂U
0
σ ij
∂τ xy
=
1 2G