随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量来刻画出这种随机现象的全部统计规律性。
另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。
随机变量族是随机过程的一种表示方式，每个随机变量X(t,e)都对应于随机过程在参数t和样本点e处的取值。
根据参数集T和状态空间I是否可列，随机过程可以分为四类。
同时，根据X(t)之间的概率关系也可以分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
随机过程的概率特征可以通过有限维分布函数族来描述。
随机过程的一维分布，二维分布，…，n维分布的全体称为有限维分布函数族。
然而，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。
例如，均值函数m、方差函数D、协方差函数B和相关函数R等。
这些函数可以用来描述随机过程在不同时刻的平均值、偏离程度和线性相关程度。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
1.公式中的乘号应该改为小括号，正确的公式为：E[(Z_t-m_{Z(t)})(Z_t-m_{Z(t)})]$2.删除第一段，因为它没有明确的主题和信息。
3.改写第二段：协方差函数是描述两个随机变量之间关系的一种方式。
对于随机过程$\{Z(t),t\in T\}$，它的协方差函数$B_Z(s,t)$定义为$E[(Z_s-m_{Z(s)})(Z_t-m_{Z(t)})]$，其中$m_{Z(t)}$是随机过程$Z(t)$在$t$时刻的均值。
4.改写第三段：相关函数$R_Z(s,t)$是衡量随机过程$\{Z(t),t\in T\}$在不同时刻$s$和$t$的取值之间关系的一种方式。
它的定义为$E[Z_sZ_t]$。
注意到$R_Z(s,t)$与协方差函数$B_Z(s,t)$之间存在关系：$B_Z(s,t)=R_Z(s,t)-m_{Z(s)}m_{Z(t)}$。
5.改写第四段：常用的随机过程有以下几种类型：1) 二阶距过程：对于实（或复）随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对于每一个$t\in T$，都有$E[X(t)]<\infty$，即二阶距存在，则称该随机过程为二阶距过程。
2) 正交增量过程：设$\{X(t),t\in T\}$是均值为零的二阶距过程，如果对于任意的$t_1<t_2<t_3<t_4\in T$，有$E[(X(t_2)-X(t_1))(X(t_4)-X(t_3))]=0$，则称该随机过程为正交增量过程。
它的协方差函数为$B_X(s,t)=\sigma_X(\min(s,t))$，相关函数为$R_X(s,t)=\sigma_X(\min(s,t))$。
3) 独立增量过程：对于随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对于任意正整数$n\geq 2$，以及任意的$t_1<t_2<\cdots<t_n\in T$，随机变量$X(t_2)-X(t_1),X(t_4)-X(t_3),\ldots,X(t_n)-X(t_{n-1})$是相互独立的，则称$\{X(t),t\in T\}$是独立增量过程。
如果进一步满足对于任意$s<t\in T$，随机变量$X(t)-X(s)$的分布仅依赖于$t-s$，则称$\{X(t),t\in T\}$是平稳独立增量过程。
4) 马尔可夫过程：如果随机过程$\{X(t),t\in T\}$具有马尔可夫性，即对于任意正整数$n$和$t_1<t_2<\cdots<t_n\in T$，有$P(X(t_n)\leq x_n|X(t_1)=x_1,\ldots,X(t_{n-1})=x_{n-1})=P(X(t_n)\leq x_n|X(t_{n-1})=x_{n-1})$，则称$\{X(t),t\inT\}$是马尔可夫过程。
5) 正态过程：对于随机过程$\{X(t),t\in T\}$，如果对于任意正整数$n$和$t_1,t_2,\ldots,t_n\in T$，$(X(t_1),X(t_2),\ldots,X(t_n))$是$n$维正态随机变量，其联合分布函数是$n$维正态分布函数，则称$\{X(t),t\in T\}$是正态过程或XXX过程。
6) 维纳过程：是正态过程的一种特殊情形。
为具有参数λ的泊松过程，如果满足以下三个条件：①X(0)=0；②独立增量过程，即对于任意正整数n和任意的t1<t2<。
<tn，X(t2)-X(t1)。
X(t3)-X(t2)。
X(tn)-X(tn-1)相互独立；③在任意长度为t的时间区间内，事件A发生的次数服从参数λt的泊松分布，即P{X(t+s)-X(s)=n}=e^(-λt)(λt)^n/n。
n=0,1.且E[X(t)]=λt，λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均次数，也称为速率或强度。
三．平稳过程平稳过程是指在时间平移下保持统计性质不变的随机过程。
严（狭义）平稳过程要求对于任意常数τ和正整数n以及t1,t2.tn∈T，t1+τ,t2+τ。
tn+τ∈T，(X(t1),X(t2)。
X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ)。
X(tn+τ))有相同的联合分布。
广义平稳过程要求满足三个条件：①二阶距过程；②对任意的t∈T，EX(t)是常数；③对任意s,t∈T，EX(s)EX(t)=RX(s,t)，或仅与时间差t-s有关。
如果一个随机过程满足这三个条件，则称其为广义平稳过程，或简称平稳过程。
四．维纳过程维纳过程是一种平稳独立增量过程，其任何有限时间上的增量服从正态分布，且方差随时间长度线性增加。
维纳过程是一个Markov过程，因此当前值就是做出未来预测所需的全部信息。
马尔可夫过程具有马尔可夫性或无后效性，即在当前状态已知的情况下，未来状态的条件分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
这可以表示为 $P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_1) =x_1.\ldots。
X(t_{n-1}) = x_{n-1}\} = P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_{n-1}) = x_{n-1}\}$。
马尔可夫链是一种随机过程，其条件概率满足转移概率矩阵的性质。
具体来说，对于任意的整数 $n$ 和任意的状态$i_1.\ldots。
i_{n+1}$，如果 $P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n。
\ldots。
X_1 = i_1\} = P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n\}$，那么 $\{X_n\}$ 就是一个马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 $P\{X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n\}$ 决定。
转移概率是马尔可夫链中非常重要的概念。
对于状态$i$ 和状态 $j$，转移概率 $p_{ij}(n)$ 表示在时刻 $n$，从状态$i$ 转移到状态 $j$ 的概率。
如果马尔可夫链是齐次的，那么转移概率与时间 $n$ 无关，记为 $p_{ij}$。
转移概率构成的矩阵 $P = [p_{ij}]_{i,j \in I}$ 称为系统的一步转移矩阵，每行元素之和为 $1$。
马尔可夫链的转移概率具有一些重要的性质，包括可加性和齐次性。
对于任意的 $m,l,n$，有 $p_{ij}(m+n) = \sum_{k \inI} p_{ik}(m)p_{kj}(n)$，这被称为 C-K 方程。
证明可以使用条件概率的乘法公式和马尔可夫性质。
1.马尔可夫链的基本概念和定义马尔可夫链是一种随机过程，它具有马尔可夫性质，即在给定当前状态下，未来状态与过去状态是独立的。
马尔可夫链的状态空间是离散的，状态之间的转移是基于一步转移概率矩阵P来描述的。
在马尔可夫链中，初始概率和绝对概率向量分别表示时刻0和时刻n状态的概率分布。
2.马尔可夫链的转移概率矩阵和有限维分布马尔可夫链的转移概率矩阵P描述了状态之间的转移概率，是一个n次乘方的一步转移概率矩阵。
有限维分布完全由初始概率和一步转移概率所决定，可以用矩阵形式表示为P(n)=P(0)PT(n)。
绝对概率向量表示n时刻状态为j的概率，可以用公式p(j)(n)=∑p(i)(n-1)p(ij)计算得到。
3.马尔可夫链的状态分类马尔可夫链的状态可以根据其周期性、首中概率、常返态和返回时间等特性进行分类。
周期是指自某状态出发，再返回某状态的所有可能步数最大公约数，如果大于1则称该状态是周期的，否则是非周期的。
首中概率表示由i出发经n步首次到达j的概率，可以用公式fij=∑fn=1∞fij(n)计算得到。