1 2 2 2 exp − [(π2 − 4)(x1 + x3 ) +π2 x2 − 4π(x1x2 + x2 x3 ) + 8x1x3 ] 2 ） 2 2π(π2 −8) 2(π −8
例4.2 正态随机信号通过线性系统 输入是一个零均值正态随机过程
X(t) H(ω) Y(t)
输出的均值为零
GY (ω ) = G X (ω ) H (ω )
2
输出的功率谱
输出的自相关函数 输出的方差
1 RY (τ ) = 2π
2 Y
∫
+∞
−∞
G X (ω ) H (ω ) e jωτ dω
2
1 σ = RY (0) = 2π
∫
+∞
−∞
G X (ω ) H (ω ) dω
2
2 1 y exp− fY ( y) = 2πRY (0) 2RY (0)
i =1 N
性质4 性质4 正态随机过程与确定信号之和是正态随机过程
X (t) = N(t) + S(t)
[ x − S(t)]2 1 f X (x, t) = exp − 2 1/2 2 （ πσ ） 2 2σ
性质5 性质5 正态随机过程通过线性系统的输出是 正态随机过程
1 K = 2/ π 0
2/ π 1 2/ π
0 2/ π = 1−8/ π2 1
−2π 2 π −2π 4 −2π π2 − 4
π2 − 4 1 −1 K = 2 −2π π −8 4
f X (x) 2
1 T −1 exp − x K x 1 2 K2
第四章 典型随机过程
正态随机过程 窄带随机过程 马尔可夫过程
4.1 正态随机过程
任意n 任意n维分布都服从正态分布
一维分布
( x1 − m(t1 ))2 1 f X (x1 , t1 ) = exp− 2 2σ (t1 ) 2πσ (t1 )
n维分布
f X (x) =
广义平稳必 定严格平稳
性质3 性质3 正态随机过程状态的不相关等价于独立 不相关即意味着
σ cov( X (ti ), X (t j )) = 0
N
2
i= j i≠ j
xi2 1 f X (x1, x2 ,L, xN , t1, t2 ,L, tN ) = ∏ exp − 2 2 1/ 2 （ i =1 2πσ ） 2σ = ∏ fx ( xi , ti )
1
(2π )
n 2
K
1 2
1 T −1 exp− (x − m) K (x − m) 2
x1 x x = 2 M xn
m(t1 ) m(t ) 2 m= M m(t n )
cov[ X (t1 ), X (t1 )] L cov[ X (t1 ), X (t n )] K= M M M cov[ X (t n ), X (t1 )] L cov[ X (t n ), X (t n )]
4.1.2 正态随机过程的性质 性质1 性质1 正态随机过程的统计特性完全由它的的均值 函数和协方差函数决定。 函数和协方差函数决定。 性质2 性质2 广义平稳的正态随机过程也一定是严格平稳的 平稳正态随机过程
m X (t ) = m X
R X (t1 , t 2 ) = R X (τ )
L K X (t1 − t n ) K X (0) M M M K= K X (t n − t1 ) L K X (0)
Y (t) = ∫ X (τ)h(t −τ)dτ = lim
−∞
t
max ∆τi →0
∑X (τ )h(t −τ )∆τ
i =0 i i
N
i
4.1.3 随机过程的正态化
白噪声通过线性系统， 白噪声通过线性系统，输出服从正态分布
宽带噪声通过窄带系统， 宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布
4.1.4 正态随机过程举例 例4.1 设平稳正态随机过程的均值为零，自相关函数为 设平稳正态随机过程的均值为零，
sin(πτ) RX (τ) = πτ
1 求 t1 = 0, t2 = , t3 = 1 的三维概率密度 2
K(t1 − t2 ) K(t1 − t3 ) K(0) K = K(t2 − t1) K(0) K(t2 − t3 ) K(t3 − t1) K(t3 − t2 ) K(0) 1 sin(π / 2)/(π / 2) sin π / π = sin(π / 2)/(π / 2) 1 sin(π / 2)/(π / 2) sin π / π sin(π / 2)/(π / 2) 1 1 = 2/ π 0 2/ π 1 2/ π 0 2/ π 1