第一章 1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k kk P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk E X P kp ∞='==∑ 。

（2）()11k kk P s kp s∞-='=∑，()()221k k k P s k k p s∞-=''=-∑()2222=k k k k k k p s kp s ∞--=-∑令1s →，得()()()222112P 1=1k k k kp kp EX p EX p EX p ∞='''-=--+=-∑()()2=P 1+1EX p '''∴()()()()222P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-⎡⎤⎣⎦ 证毕3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得 ()(),0n t ditEX i inp dtp q ge ==-=-=+()()()22"22220n t iti npq d i p q g pne EX dt===-=+-+()22DX =EX EX =npq -4．设()0,1XN ，求X 的特征函数()g t解 dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xixitx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xieeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为eCtt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为e tt g 22)(-=5． 设随机变量()2,YN μσ，求Y 的特征函数是()Y g t .解：设()0,1XN ,则由例1.3知X 的特征函数 ett g 22)(-=令Y X σμ=+,则()2,YN μσ，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6.()12,,,n X X X p ii 设是相互独立的随机变量，且X b n ，i=1,2,,n, ,b n p ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑nn ii i=1i=1证明Y=X()()()()()()()111,,ini ii n it n n n n it it i i p t pe q t t pe q pe q b n p ====+∑=∏=∏+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ii i i X n i Y X i=1n n i i i=1i=1证因为X b n ，所以其特征函数为g i=1,2,,n,由特征函数的性质知，Y=X 的特征函数为g g 再由特征函数的唯一性定理知Y=X7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ证明⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni iXY 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie e t X t ni n i Y∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ 再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。

8． 设12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且()n i Niii X ,...2,1,,~2=σμ，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==σμ211,~i n i i ni i N Y X 。

证 因为(),,~2σμiii NX 所以其特征函数为()n i t i t Xe g i i it ,...2,1,2221==-σμ有特征函数的性质知，∑==ni iXY 1的特征函数为()()e e g g t t i t Xt ni i ni i i it i n i t ini Y212122211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∑∑=====∏∏σμσμ 再由唯一性定理知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==σμ211,~i n i i ni i N Y X9． 设商店在一天的顾客数N 服从参数λ=1000的泊松分布，又设每位顾客所花的钱数X i 服从N(100,502)，求商店日销售Z 的平均值。

解：由条件知∑==ni iXz 1而EN=1000，EX1=100,故EZ=EN ·EXi=1000×100=100000(元)10．设随机变量X 的特征函数为g x (t),Y=aX+b,其中a,b 为任意实数，证明Y 的特征函数g Y (t)为()().at t g e g XitbY=证()()()()()it aX b i at X ibt ibt i at X ibt YX t E E E at g g eee e e e +⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．求以下各分布的随机变量X 的特征函数g(t).(1)两点分布b(1,p) (2)二项分布b(n,p) (3)泊松分布p(λ) (4)几何分布Ge(p) (5)指数分布Exp(λ) (6)均匀分布U(a,b) (7)伽马分布Г(α，λ)解：(1) 令X~b(1,p),则P(X=0)=1-p=q,p(x)=p. 则根据特征函数的定义，得：()eeee itit it k p q pq n k p itX t g k +=+===∙∙∞=∑11....2,1,(2)令X~b(n,p),则()...2,1,1,n k p q k X p qp C kn k k n=-===-有特征函数定义，可知()()()q p eqp e C qp C eititt g nkn kk knkn kk k n itk+∑∑===-∞=-∞=0(3)令X~p(λ),则n k k k X p e k...1,0,0,!)(=〉==-λλλ有特征函数定义可知：()()eee e e e ee eitk k t g ititkk k kitk⎪⎭⎫⎝⎛--∞=--∞=====∑∑100!1!λλλλλλλ(4)设X~Ge(p),则p(X=k)=pq k-1,q=1-p,k=1,2…n 有特征函数定义知：()e ee e q e qe itit itit k kk k itk q p q q q pitq p p t g -=-∙===∑∑∞=-∞=11)(111(5)设X~Exp(λ),则可知密度函数⎪⎩⎪⎨⎧〈≥=-0,00,)(x x x f e xλλ则有特征函数定义，可得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰-∞+-∞+-∞+-+∞∞-=--=-====λλλλλλλλλλit ee e e e it it dxdxdxx f t g xit xit xitxitx 11)((6)设X~U(a,b),则可知密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f则 ()()()()ee e e ee itaitb baitx b a itxb aitxitxit a b it a b dx a b dx ab dxx f t g --=-=-=-==⎰⎰⎰+∞∞-1111)((7)设x~Г(α,λ),则密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤〉Γ=--0,00,,,1x x x f e x x λαααλαλ则()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰--∞+-∞+----∞++∞∞-=Γ=-Γ⇒=-=Γ=Γ==λλλλλλλαααααλααλαααλαλααit it e it U e x e x e edU itxU dx dxdxx f t g Uxit xitxitx11it )(0111令14.设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost ，其中X 和Y 是相互独立的二元随机变量，求Z(t)的均值函数。

解：][t Y t X E t m Z cos sin )(+==E(X)sint+E(Y)cost 第二章1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.2、若{X(t)，t ∈T}是零均值的二阶矩过程，若对任意的t 1<t 2≤t 3<t 4，则X(t)为正交增量过程的充分条件是()1243X(t )X(t )0t E X t X ⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦3、设随机过程X(t)=Y+Zt ，t>0,其中Y ，Z 是相互独立的N （0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一维和二维概率密度族.解：由于X 与Z 是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征()()X X m t D t 、和()X ρs,t 即可. m x (t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D X (t)=D(Y+Zt)=DY+t 2DZ=1+t 2， B X (s,t)=EX(s)X(t)- m x (s) m x (t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st ，==，故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为 f t (x)=exp{-}，t>0，f s,t (x 1,x 2)=.exp{[]},s,t>0,其中4、设{X(t)，t ≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意的t ≧0，X(t)与V 相互独立,令Y(t)=X(t)+V ，求随机过程{Y(t)，t ≧0}的协方差函数. 解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以 EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0， B Y (t 1，t 2)=E(X(t 1)+V)(X(t 2)+V)=E[X(t 1)X(t 2))]+EV 2=σ2X (min(t 1,t 2))+1. 5、试证明维纳过程是正态过程。