正切函数的性质与图象孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．正切函数y ＝tan x 的图象叫做__正切曲线__． (2)性质：如下表所示.函数性质y ＝tan x定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠ π2＋k π ，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性__奇函数__单调性增区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 减区间无[拓展](1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π|ω|．[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，32π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π2，π2)∪(π2，3π2)∪…上是增函数． 1．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( B )A ．π6B ．－π6C ．－π12D ．π122．函数y ＝2tan(12x －π4)的最小正周期是( B )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．函数f (x )＝sin x tan x 是( B ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．比较大小：tan(－4π3)__<__tan(－11π5)．命题方向1 ⇨正切函数的奇偶性 典例1 试判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |； (2)f (x )＝x 2tan x －sin 2x ．[思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．[解析] (1)因为该函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝1－2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．(2)因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )2tan(－x )－sin 2(－x )＝－x 2tan x －sin 2x ，f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．『规律总结』 在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f (x )的定义域是否关于原点对称，然后再判断f (－x )与f (x )的关系．〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝tan x (－π4≤x <π4)；(2)y ＝x tan2x ＋x 4； (3)y ＝sin x ＋tan x ．[解析] (1)∵定义域[－π4，π4)不关于原点对称，∴它既不是奇函数也不是偶函数．(2)定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称，∵f (－x )＝(－x )tan2(－x )＋(－x )4＝x tan2x ＋x 4＝f (x )，∴它是偶函数． (3)定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，关于原点对称，∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴它是奇函数． 命题方向2 ⇨求定义域和单调区间典例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的定义域，并指出它的单调性． [思路分析] 把3x －π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋5π18，k ∈Z ． 令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，不存在单调递减区间．『规律总结』 (1)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．〔跟踪练习2〕求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域，并指出它的单调性． [解析] 要使函数有意义应满足 π6－x 4≠k π＋π2，得x ≠－4k π－4π3， ∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4k π－4π3，k ∈Z ． y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－4π3<x <4k π＋8π3，k ∈Z ．∴y ＝3tan(π6－x4)的单调递减区间为(4k π－4π3，4k π＋8π3)，k ∈Z .不存在增区间．命题方向3 ⇨单调性的应用典例3 不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小． (1)tan ⎝⎛⎭⎫－2π7与tan ⎝⎛⎭⎫－π5； (2)tan126°与tan496°．[思路分析] 不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式化到同一个单调区间内． [解析] (1)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， －π2<－2π7<－π5<π2，∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π7<tan ⎝⎛⎭⎫－π5． (2)∵tan496°＝tan136°，y ＝tan x 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126°>90°，∴tan136°>tan126°，即tan496°>tan126°．『规律总结』 运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤：(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间(－π2，π2)内；(2)运用正切函数的单调性比较大小．〔跟踪练习3〕不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起来．(1)tan32°__<__tan215°． (2)tan 18π5__<__tan ⎝⎛⎭⎫－28π9． [解析] (1)∵tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan35°， y ＝tan x 在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°， ∴tan32°<tan35°，即tan32°<tan215°． (2)∵tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， 而－π2<－2π5<－π9<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调增， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∴tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9． 数形结合思想—利用图象解三角不等式 典例4 观察正切曲线，解不等式tan x >1．[思路分析] 先确定在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的x 值的范围，再写出不等式的解集．[解析] 函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的图象如图所示． 作直线y ＝1，则在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当tan x >1时，有π4<x <π2，又函数y ＝tan x 的周期为π， 则tan x >1的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z ．『规律总结』 解形如tan x >a 的不等式的步骤 作图象―→作在(－π2，π2)上的正切函数图象↓求界点―→求在(－π2，π2)上使tan x ＝a 成立的x 值↓求范围―→求在(－π2，π2)上使tan x >a 成立的x 的范围↓写出解集―→根据正切函数的周期性，写出解集 〔跟踪练习4〕解不等式：tan2x ≤－1． [解析] 因为tan(－π4)＝－1，所以不等式tan2x ≤－1的解集由不等式k π－π2<2x ≤k π－π4(k ∈Z )确定．确定k π2－π4<x ≤k π2－π8(k ∈Z )，所以不等式tan2x ≤－1的解集为 {x |k π2－π4<x ≤k π2－π8，k ∈Z }．如图所示：将正切曲线的对称中心误认为是(k π，0)典例5 y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为(π3，0)，若－π2<θ<π2，则θ＝____________．[错解] 函数y ＝tan x 的对称中心是(k π，0)，其中k ∈Z ，故令2x ＋θ＝k π，k ∈Z ，当x ＝π3时，解得θ＝k π－2π3，k ∈Z ，由－π2<θ<π2，得θ＝π3． [错因分析] 误认为y ＝tan x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z 而致错． [正解] 函数y ＝tan x 的对称中心是(k π2，0)，其中k ∈Z ，故令2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z ．又－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6．当k ＝2时，θ＝π3，所以θ＝－π6或π3．答案：－π6或π3『点评』 1.对正切函数图象的对称中心要把握准确，是(k π2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．2．要特别注意所求参数的范围，注意分情况讨论．〔跟踪练习5〕函数y ＝2tan(3x －π4)的对称中心是 (π12＋k π6，0)(k ∈Z ) ．课堂检测1．函数y ＝tan(x ＋π)是( A ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( D )A ．{x |x ≠－π4}B ．{x |x ≠π4}C ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }3．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的最小正周期是( B ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．下列各式中正确的是( D ) A ．tan735°>tan800° B ．tan1>－tan2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π7[解析] tan 9π8＝tan(π＋π8)＝tan π8．因为0<π8<π7<π2，y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数，所以tan π8<tan π7，即tan 9π8<tan π7．5．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]，且x ≠0)的值域为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．A 级 基础巩固一、选择题1．当x ∈(－π2，π2)时，函数y ＝tan|x |的图象( B )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．没有对称轴 2．函数f (x )＝tan2xtan x的定义域为( A )A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z }B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z }[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k πx ≠k π＋π22x ≠k π＋π2(k ∈Z )得⎩⎨⎧x ≠k π2，x ≠k π2＋π4，∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，x ≠k π4，k ∈Z ，故选A ．3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是( A )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12[解析] ∵函数的象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π6，故选A ．4．函数f (x )＝tan(π4－x )的单调递减区间为( B )A ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZB ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈ZC ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZD ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z[解析] 由f (x )＝－tan(x －π4)，可令k π－π2<x －π4<k π＋π2，解得k π－π4<x <k π＋34π，k ∈Z ．5．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为( A )A ．π2B ．12C ．πD ．1[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π2．6．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )A ．±1B ．1C ．±2D ．2[解析]π|ω|＝2π|－2|，ω＝±1． 二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为 (k π4－π6，0)(k ∈Z ) ．[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是 (2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z ) ．[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z ．三、解答题9．已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．[解析] ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5．10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎨⎧0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π2)，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数f (x )＝tan x2－cos x 的奇偶性是( A )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[解析] f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，又f (－x )＝tan (－x )2－cos (－x )＝－tan x2－cos x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则( D )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b[解析] ∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70°， ∴log 12sin25°>log 12cos25°>log 12tan70°．即a <c <b ．3．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( B )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1[解析] 若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0．4．函数y ＝|tan(x ＋π4)|的单调增区间为( D ) A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z ) B ．(k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z ) C ．(k π，k π＋π2)(k ∈Z ) D ．[k π－π4＋k π＋π4)(k ∈Z ) [解析] 令t ＝x ＋π4，则y ＝|tan t |的单调增区间为[k π，k π＋π2)(k ∈Z )． 由k π≤x ＋π4<k π＋π2，得 k π－π4≤x <k π＋π4(k ∈Z )． 二、填空题5．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是偶函数．其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．6．若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) ． [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z ． 三、解答题7．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． [解析] y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1． ∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．∴当tan x ＝－1时，即x ＝－π4时，y 取最小值1；当tan x ＝1时，即x ＝π4时，y 取最大值5．8．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．[解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ．∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R ．(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π．f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ．∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．C 级 能力拔高函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是(D )[解析] ∵π2<x ≤π时，sin x ≥0，tan x ≤0，∴y ＝tan x ＋sin x －(sin x －tan x )＝2tan x ，π<x <3π2时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D ．。