高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
一、正弦函数的图象与性质
1、正弦函数图象的作法：
（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；
（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。

注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。

2、正弦函数的性质
（1）定义域为，值域为；
（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。

函数
的最小正周期是；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。

3、周期函数
函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。

4、关于函数的图象和性质
（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；
（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。

5、正弦型图象的变换方法
（1）先平移后伸缩
的图象
的图象
的图象
的图象
的图象。

（2）先伸缩后平移
的图象
的图象
的图象
的图象
的图象。

二、余弦函数、正切函数的图象与性质
1、余弦函数的图象和性质
（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。

2、正切函数与正、余弦函数的比较
（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；
（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；
（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直
线），其图象被这些渐近线分割开来；
（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为
），又是轴对称图形（对称轴分别为
）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；
（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正
切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。

三、已知三角函数值求角
已知角的一个三角函数值求角，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定。

例1：已知sin(q+p)>0，cos(q-p)>0，则下列不等关系中必定成立的是______。

A. tan<>
B. tan>cot
C. sin<>
D. sin>cos
分析：由正弦、余弦函数图象可以确定出的取值范围，进而可
求。

求出的范围后，也可以根据正弦、余弦、正切、余切函数图象的特点比较大小。

解答：由已知得 -sin q>0且 -cos q>0，即sin q<>和cos q<>同时成立，
则2k p+p q<>k p+，kÎZ，于是k p+k p+，kÎZ，此时必有tan<>，
-1<><>，即tan<>，所以答案为A。

例2：求下列函数的最小正周期。

（1）；
（2）；
（3）。

分析：利用函数周期性的定义和最小正周期的概念来解题。

，的最小正周期是；的最小正周期是。

解答：（1）
，最小正周期。

（2）
，最小正周期。

（3）
，最小正周期。

例3：求函数
的值域。

分析：解此题的关键是统一函数的名，然后利用换元法将其视为
二次函数求解。

在做题时，有时会出现形如y=a sin2x+b cos x+c型的函数，其实质同本例的情况一样，特点是式中同时含有sin x与cos x，且其中一个是二次，另一个是一次，处理方法是先应用sin2x+cos2x=1对原式进行变形，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，将其转化成二次函数来求解。

即设，先化为二次函数，再求其在闭区间上的最值。

解答：原式化为。

令，则
，由二次函数图象可知，当时，；当时，。

故所求函数的值域为。

例4：试判断下列各函数的奇偶性。

（1）（2）
分析：函数具有奇偶性，则其定义域在数轴上关于原点对称，所以判定函数的奇偶性时，应首先判断函数的定义域是否关于原点对称。

在解答这道题时，也可以先化简再判断奇偶性，但在化简的过程中需要注意等价性，否则就可能会出错。

解答：⑴定义域为，k∈Z，
且有
，
所以函数为偶函数。

⑵定义域为R，且有
，所以函数是奇函数。

例5：已知函数=A sin(w x+j)+k (其中A>0，w>0，0j<>p)一个周期的图象上有最高点(，3)和最低点(，-5)，则=。

分析：根据已知所给的点的信息可列出两个方程，再由正弦型函数的图象特点，结合图象变换的规律可求解出各个变量的值。

题目中给出的最高点与最低点确定了振幅A与竖直方向的平移量k，这是本题的突破口。

求的一般方法是找到一个已知点，然后将其坐标代入即可。

但当已知点不是最高点或最低点时，要特别注意应由该点所在区间的单调性来确定的取值。

解答：由已知可得k=-1，A=4，函数的最小正周期T有=，则T=p，
=p，w=2，并有2´+j=，解得j =，所以
=4sin(2x+)-1。

例6：如何变换的图象可得到函数的图象？
分析：应先通过诱导公式将其转化为同名三角函数。

无论哪种变
换都是针对字母而言的。

例如将的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是，而不是，把
的图象的横坐标缩小为原来的，得到的函数图象的解析式是而不是。

解答：
，
在中以代替，有。

根据题意，有，得。

所以将的图象向左平移个单位长度可得到函数
的图象。

例7：（1）直线（a为常数）与正切曲线
相交的相邻两点间的距离是。

（2）设函数，若对任意，都有
成立，则的最小值是。

（3）为了使函数在区间上至少出现50次最大值，则的最小值是。

分析：对于一些没有直接指出三角函数最小正周期的问题，解题的关键是正确理解题意，通过运用数形结合的方法，准确找出隐含的最小正周期的个数，将问题化归为我们熟悉的正弦函数、余弦函数及正切函数的最小正周期问题加以解决。

因此，正确理解题意，进行等价转化是解题的关键。

函数
、
的最小正周期公式是，函数
的最小正周期公式。

结合图形进行分析，对正确理解题意有着至关重要的作用。

解答：（1）由正切曲线的图象可知，直线（a为常数）与正切曲线
相交的相邻两点间的距离恰好就是函数的最小正周期，为。

（2）由正弦曲线的图象可知，、分别是函数的最小值、最大值，的最小值就是相邻两点间
最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的个周期，故
的最小值。

（3）∵函数在区间上至少出现50次最大值，∴在区间上至少含有个周期。

∴，得，故的最小值是。

例8：求函数
的值域并指出它的单调递增区间。

分析：根据三角函数的周期性可知只需对自变量区间[0，2p]上的函数性质加以研究即可，再由反三角函数的性质可知应按自变量Î[0，]，[，p]，[p，]，[，2p]四种不同的情形来求解。

本题综合考查了三角函数与反三角函数的定义域、值域、单调性问题。

值得注意的是虽然，，但两个式子中自变量的取值范围却不同。

解答：
，所以，是以2p为周期的周期函数。

若，则，
若，则，
；
若，则，，
；
若，则，。

函数
的图象如图所示，所以函数的值域是，它在上严格单调递增，在
上严格单调递减。