近世代数练习题题库§1 第一章基础知识1判断题：1.1设A与B都是非空集合，那么{}B∈=⋃x且。

（）BAA∈xx1.2A×B = B×A （）1.3只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（）1.4如果ϕ是A到A的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。

( )1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。

（）1.6设A、B、D都是非空集合，则BA⨯到D的每个映射都叫作二元运算。

（）1.7在整数集Z上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z的一个二元运算。

（）1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。

( )2填空题：2.1若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。

2.2设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。

2.3设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。

2.4设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。

2.5设集合{}1,0,1-=A；{}2,1=B，则有B。

=⨯A2.6如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则()[]=-af1。

f2.7设A =｛a1, a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有个。

2.8设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B 的映射共有____________个.2.10设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.2.11设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.2.12集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。

则[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=ji A A ______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n的一个等价关系． 3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．第二章群论1判断题：§2.1 群的定义.1.1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G对于这个乘法运算都是封闭的；(B)∀a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G，使得∀aG，都有ea=a成立；(D)∀aG，都存在aG，使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。

( )1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：A）G对于这个乘法运算是封闭的；B）∀a,b,c∈G，都有（ab）c=a(bc)成立；C）存在e r∈G，使得∀a∈G，都有ae r=a成立；D）∀a∈G，都存在a1-∈G，使得a1-a=e r成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。

（）1.3设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。

( )1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。

( )1.5实数集R关于数的乘法成群。

（）1.6若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。

( )1.7若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“ ”，a b=a+b+ab(),(,a则∈∀)构成一个群。

bQ,Q（）§2.2 变换群、置换群、循环群1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（）1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( )1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。

（）1.12素数阶群都是交换群。

（）1.13 p（p为质数）阶群G是循环群．（）1.14素数阶的群G一定是循环群.( )1.15 3次对称群3S是循环群。

（）1.16任意群都同构于一个变换群．（）1.17有限群都同构于一个置换群。

( ) 1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。

（）1.19在5次对称群5S中，(15)(234)的阶是6.( )1.20在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。

（）1.21在5S中，(12)(345)的阶是3。

( ) 1.22任意有限群都与一个交换群同构。

（）1.23因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

（）1.24 6阶群是交换群。

（）。

1.25 4阶群一定是交换群。

（）1.26 4阶群一定是循环群。

（）1.27循环群一定是交换群。

（）1.28设G是群，a, b∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。

（）1.29 14阶交换群一定是循环群。

（）1.30如果循环群()aG=中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。

（）1.31有理数加群Q是循环群。

（）1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。

（）§2.3 子群、不变子群。

1.33若H是群G的一个非空子集，且∀a,b∈H 都有ab∈H成立，则H是G的一个子群。

（）1.34若H是群G的一个非空有限子集，且∀a,b∈H都有ab∈H成立，则H是G的一个子群。

（）1.35循环群的子群也是循环群。

（）1.36如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

（）1.37一个阶是11的群只有两个子群。

（）1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。

（）1.39设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。

（）1.40若G是60阶群,则G有14阶子群。

( ) 1.41设G是60 阶群，则G有40阶子群。

（）1.42阶为100的群一定含25阶元。

（）1.43阶为100的群一定含25阶子群。

（）1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。

（）1.45设H是群G的一个非空子集，则⋅⇔≤-1。

（）H=GHHH1.46设H是群G的一个非空子集，则⋅⇔≤-1。

（）H⊇HHHG1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为∈∀∀-1∈,。

（）;HgHgg⊆HhG1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等. （）1.49指数为2的子群不是不变子群。

（）1.50若N∆H,H∆G，则N∆G。

( )1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。

( )1.52设H≤G，K≤G，则HK≤G。

（）1.53若N N，H G那么NH G。

（）§2.4 商群、群的同态定理。

1.54群之间的同态关系是等价关系。

（）1.55循环群的商群是循环群。

（）1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。

（ ）1.57 设G 是有限群，H ≤G ， 则||||||H G H G =。

（ ）1.58 若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且N G ≅)(N Gϕ 。

( ) 1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，则 f(H) ∆-G 。

（ ）1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤-G 。

（ ）1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。

1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,则()是G 不变子群,且≅。

( )1.63 设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕ(N )，则N ∆G,且--≅N G N G //。

（ ） 2 填空题： 2.1 在群G 中，a ，b ∈G ，a 2 = e ，a －1ba = b 2，则|b| =_________________。

2.2在交换群G中，a，b∈G，|a| = 8，|b| = 3，则|a－2 b | =_________________。

2.3设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为___________________。

2.4设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。

2.5设G是交换群，a、b∈G, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_____________。

2.6群AG中有_____个1阶元。

2.7在S5中，4阶元的个数为_____________。

2.8在S4中，3阶元的个数为_____________。