第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。

则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。

因为A 是奇数阶的，所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值-1.利用矩阵A 的所有特征值之积就等于矩阵A 的行列式的值，可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为1. 但是，奇数个-1的乘积为-1，成对出现的复特征值之积为1，它们的乘积也是-1,与1矛盾。

因此假设不成立,1必为A 的一个特征值。

§2相似与相似对角化一、相似矩阵的定义定义 1 设B A ,均为n 阶方阵,若有可逆矩阵P 使B AP P =-1,则称矩阵B 是矩阵A 的相似矩阵,或者说A 与B 相似.显然,A BP P =---111)(,所以B与A 也相似.相似具有以下特性： 反身性 A 与A 相似对称性 A 与B 相似，则B 与A 相似传递性 A 与B 相似，A 与C 相似，则B 与C 相似推论1 若A BP P =-1,而ξ是A 属于λ的特征向量,则ξP 是B 属于λ的特征向量.ξ 是A 属于λ的特征向量 λξξ=∴A又A BP P =-1λξξ=∴-BP P 1)()(ξλξP P B =∴所以当A 与B 相似，若有A BP P =-1成立,而ξ是A 属于λ的特征向量,则ξP 是B 属于λ的特征向量.二、相似矩阵的性质定理3 设A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同，从而A 与B 的特征值亦相同，则有B A =,E B E A λλ-=-,)()(B tr A tr =,)()(B r A r =.证明 因为A 与B 相似,即有可逆矩阵,P 使B AP P =-1.故P E A P P E P AP P E B )()(111λλλ-=-=---- E A P E A P λλ-=-=-1故A 与B 的特征多项式相同，从而A 与B 的特征值亦相同，则有B A =,E B E A λλ-=-,)()(B tr A tr =,)()(B r A r =,性质3设A 与B 相似,则有TA 与TB 相似,若A 、B 可逆,则有1-A 与1-B 相似,*A 与*B 相似,)(A f 与)(B f 相似,)(x f 表示x 的多项式.此性质读者可利用相似矩阵具有相同的特征多项式和相同的特征值来证明.特别地,若矩阵A 与对角阵Λ相似,则称矩阵A 可对角化,此时,对角阵Λ的主对角元素即是矩阵A 特征值,而使Λ=-AP P 1的可逆矩阵P 的列向量,即是对应的特征向量.例8 设A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为2,即2)(=A R ,且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110011110011A ,（1）求矩阵A 的特征值与特征向量; （2）求A .解：(1)易知特征值1-对应的特征向量为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-特征值1对应的特征向量为,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛由2)(=A r 知A 的另一个特征值为 0.因为实对称矩阵不同特征值得特征向量正交,从而特征值 0 对应的特征向量为.010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）由 ,0111000110000100010111000111-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 得.001000100⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例9 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,-2,对应的特征向量依次为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-013α. (I)求矩阵A ; (II)求2009A .解：(I)根据题设可知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,,),,(321321ααααααA . 设()321,,ααα=P 可求出⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-101101020211P1211211-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴PP A P AP⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴10110102021211110001110A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10302030121101101020210001210 (II)根据(I)知12009120092009211211--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=P P P P A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101101020212111100011102009⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20092009200920092009200921021020210212110110102021000121021 三、n 阶方阵A 可对角化的条件定理 4 矩阵A 可以对角化的充分必要条件是矩阵A 有n 个线性无关的特征向量.证明 如果可逆矩阵P , 使Λ=-AP P 1为对角矩阵,也就是Λ=P AP若记矩阵),,,(21n p p p P =,其中n p p p ,,,21 是P 的列向量组, 则有),,,(),,,(2121n n p p p p p p A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21 即为 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap λλλ = 于是有 .,,2,1,n i p Ap i i i ==λ再由P 是可逆矩阵,便可知n p p p ,,,21 就是A 的n 个线性无关的特征向量.反之,如果n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 , 于是,应有数n λλλ,,,21 使.,,2,1,n i p Ap i i i ==λ以向量组n p p p ,,,21 构成矩阵),,,(21n p p p P =,则P 为可逆矩阵,且Λ=P AP 其中Λ是以n λλλ,,,21 构成的对角矩阵.推论2 若A 有n 个互不相等的特征值,矩阵A 一定可以对角化.例10 某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1/6 的熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新,老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x . (1)求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x A y x 11; (2) 验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,1421ηη是 A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值;(3) 当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212111y x 时,求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x . 解：()1由题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511化简⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=++n n n nn n y x y y x x 531015210911即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x y x 531015210911可见 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5310152109A()2因为行列式()051114,21≠=-=ηη可见 21,ηη线性无关.又1114ηη=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ,故1η为A 的特征向量,且相应的特征值为11=λ.22212121ηη=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ,为A 的特征向量,且相应的特征值为212=λ.()3 因为 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++21211111211n n n n n n n n A y x A y x A y x A y x 因此只要计算nA 即可.令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1114),(21ηηP , 则由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P ,有121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A λλ, 于是112111142111114--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n P P A λλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n 21121121421451因此⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n nn n n A y x 21322138101212111.§3 实对称矩阵的相似对角化定理3 设A 为n 阶实对称矩阵,则有A 的所有特征值均为实数. 证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值,p 为对应的特征向量. 即p Ap λ=于是有p p Ap p Ap p T T T λ==)(,及.)())(p p p Ap p A p Ap p T T T T T λ===两式相减,得0)(=-p p T λλ因为0≠p ,所以0≠p p T . 故λλ=,即λ为实数.定理4设A 为n 阶实对称矩阵,则有A 的属于不同特征值的特征向量正交.证明 由已知有 )1(111p p A λ=)2(222p p A λ=T p 1以左乘（2）式的两端得21221)(p p Ap p TT λ=因为A 是实对称矩阵,所以)(21Ap p T21)(p Ap T =211)(p p T λ=211p p T λ= 于是().02121=-p p Tλλ因为21λλ≠,故021=p p T,即1p 与2p 正交.推论3设A 为n 阶实对称矩阵,对A 的任意一个i k 重特征值i λ,A 必有i k 个线性无关的特征向量,即i i k n E A r -=-)(λ,所以A 必定可以对角化.定理5设A 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Λ==-AQ Q AQ Q T 1,Λ的主对角元素为矩阵A 的特征值,Q 的列向量为对应的特征向量.证明 设A 的互不相等的特征值为m λλλ,,,21 ,它们的重数依次为m r r r ,,,21 于是, n r r r m =+++ 21.根据定理4及推论3可知，对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化，即得i r 个单位正交的特征向量,m i ,,2,1 =.由n r r r m =+++ 21.知这样的特征向量恰有n 个. 又因实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交(根据定理4),故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成矩阵P , 则为P 正交矩阵,并有Λ=-P A P 1.其中对角矩阵Λ的对角元素含m 个m λλλ,,,21 ，恰 是 A 的n 个特征值.用正交矩阵将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤：)(i 求出A 的所有相异的特征值m λλλ,,,21 ;)(ii 每一个i k 重特征值i λ,求出所对应的i k 个线性无关的特征向量;,,,21ik i i ξξξ)(iii 用施密特正交化方法将每一个重特征值i λ所对应的k 个线性无关的特征向量ik i i ξξξ,,,21 先正交化;)(iv 将所求的所有特征向量单位化为m p p p ,,,21 ;)(v 将上面求得的正交单位向量作为列向量,排成一个n 阶方阵P ,则P即为所求得的正交方阵,即有.1Λ==-AP P AP P T例11 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0431410a a A ,正交矩阵Q 使得AQ Q T为对角矩阵,若Q的第一列为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12161,求Q a ,.解：由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0431410a a A ,存在正交矩阵Q ,使得AQ Q T 为对角阵,且Q 的第一列为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12161,故A 对应于1λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121611ξ,故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12161121611λA , 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12112104314101λa a ,由此可得,1-=a 21=λ. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0431410a a A ,由，01413141=---=-λλλλA E 可得413241444131411413141+---=+----=---λλλλλλλλλλ 3214)4(--+=λλλ )5)(2)(4(--+=λλλ故A 的特征值为5,4,2321=-==λλλ,且对应于21=λ的特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12161. 由()02=-x A E λ,即0414171414321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000010101~0000270414~414171414 可得对应于42-=λ的特征向量.1012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ξ由()03=-x A E λ,即0514121415321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110101~000110121~990990121~514121415 可得对应于53=λ的特征向量.1113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ξ由于A 为实对称矩阵,321,,ξξξ为对应不同特征值的特征向量,所以321,,ξξξ相互正交,只需要单位化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==12161111ξξη,,10121222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξη,11131333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξη取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==31216131062312161,,321ηηηQ ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ=542AQ Q T.。