第二章 静电场1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r K r P =，电容率为ε。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

解：（1）P ⋅-∇=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=∇⋅+⋅∇-=⋅∇-=r r r)(12P P n -⋅-=p σR K R r r /=⋅==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内200)/()/(r K f εεεεεερ-=-⋅∇=⋅∇=P D 内（3）)/(/0εεε-==P D E 内内rr frKRr Ve e D E 200200)(4d εεεεπερε-===⎰外外 rKRr)(d 00εεεεϕ-=⋅=⎰∞r E 外外)(ln d d 00εεεεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞r R K RR rr E r E 外内内（4）⎰⎰⎰∞-+-=⋅=R R rrr R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 20))(1(2εεεεπε-+=K R2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。

当0R R >时，电势ϕ满足拉普拉斯方程，通解为∑++=nn n nn n P R b R a )(cos )(1θϕ 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θϕθϕϕRP E R E -=-→ 所以 00ϕ=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n当 0R R →时，0Φ→ϕ所以 0101000)(cos )(cos Φ=+-∑+n nn nP R b P R E θθϕ 即： 002010000/,/R E R b R b =Φ=+ϕ所以 )2(,0,),(3010000≥==-Φ=n b R E b R b n ϕ⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ（2）设球体待定电势为0Φ，同理可得⎩⎨⎧≤Φ>+-Φ+-=)()(/cos /)(cos 000230000000R R R R R R E R R R E θϕθϕϕ当 0R R →时，由题意，金属球带电量Qφθθθϕθεϕεd d sin )cos 2cos (d 200000000R E R E S nQ R R ⎰⎰+-Φ+=∂∂-== )(40000ϕπε-Φ=R所以 00004/)(R Q πεϕ=-Φ⎩⎨⎧≤+>++-=)(4/)(cos )/(4/cos 00002300000R R RQ R R R R E R Q R E πεϕθπεθϕϕ3. 均匀介质球的中心置一点电荷f Q ，球的电容率为ε，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。

提示：空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。

解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷f Q 的电势R Q f πε4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。

设极化电荷产生的电势为ϕ'，它满足拉普拉斯方程。

在球坐标系中解的形式为：）（）（内θϕcos 1n nn nn n P R b R a ∑++=' ）（）（外θϕcos 1n nn n n n P R dR c ∑++=' 当∞→R 时，0→'外ϕ，0=∴n c 。

当0→R 时，内ϕ'为有限，0=∴n b 。

所以 ）（内θϕcos n nn n P R a ∑=' ， ）（外θϕcos 1n nn nP R d ∑+=' 由于球对称性，电势只与R 有关，所以)1(,0≥=n a n )1(,0≥=n d n 0a ='内ϕ， R d /0='外ϕ 所以空间各点电势可写成R Q a f πεϕ40+=内R Q R d f πεϕ40+=外当0R R →时，由 外内ϕϕ= 得： 000/R d a =由 n n∂∂=∂∂外内ϕεϕε得：20002002044R d R Q R Q f fεπεεπ+=，)11(400εεπ-=f Q d 则 )11(4000εεπ-=R Q a f所以 ）（内εεππεϕ114400-+=R Q R Q f f ）（外εεππεϕ11440-+=R Q R Q f f RQ f 04πε=（二）应用高斯定理在球外，R>R 0 ，由高斯定理得：f p f Q Q Q Q d =+==⋅⎰总外s E 0ε，（整个导体球的束缚电荷0=p Q ），所以 r fR Q e E 204πε=外 ，积分后得：R Q dR RQ d fR R f 02044πεπεϕ⎰⎰∞∞==⋅=R E 外外 在球，R<R 0 ，由介质中的高斯定理得：f Q d =⋅⎰s E 内ε，所以r f RQ e E 24πε=内 ，积分后得：RQ R Q RQ d d f f f R R R0044400πεπεπεϕ+-=⋅+⋅=⎰⎰∞R E R E 外内内 结果相同。

4. 均匀介质球（电容率为1ε）的中心置一自由电偶极子f p ，球外充满了另一种介质（电容率为2ε），求空间各点的电势和极化电荷分布。

解：以球心为原点，f p 的方向为极轴方向建立球坐标系。

空间各点的电势可分为三种电荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为314/R f πεR p ⋅。

所以球电势可写成：314/'R f i i πεϕϕR p ⋅+=；球外电势可写成：31o o 4/'R f πεϕϕR p ⋅+=其中i 'ϕ和o 'ϕ为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。

由于对称性，i 'ϕ和o 'ϕ均与φ无关。

考虑到0→R 时i 'ϕ为有限值；∞→R 时0'o →ϕ，故拉普拉斯方程的解为：)(cos 0R R P R a n nn n i ≤='∑）（θϕ )(cos 01oR R P Rb nn n n≥='∑+）（θϕ 由此 )(cos 4/031R R P R a R n nnn f i ≤+⋅=∑）（θπεϕR p （1） )(cos 4/0131o R R P R b R n n nn f ≥+⋅=+-∑）（）（θπεϕR p （2）边界条件为：0oR R R R i===ϕϕ （3）o 21R R R R i RR==∂∂=∂∂ϕεϕε （4）将（1）（2）代入（3）和（4），然后比较)cos θ（n P 的系数，可得：)1(0,0≠==n b a n n3211211)2(2/)(R p a f εεπεεε+-= )2(2/)(211213011εεπεεε+-==f p R a b于是得到所求的解为：)()2(2)(4)2(2cos )(4030211213132112131R R R R R R p Rf f f f i ≤⋅+-+⋅=+-+⋅=R p Rp R p εεπεεεπεεεπεθεεπεϕ)()2(43)2(2)(4)2(2cos )(403213211213122112131o R R R R R R p R f f f f f ≥+⋅=⋅+-+⋅=+-+⋅=εεπεεπεεεπεεεπεθεεπεϕR p R p R p R p 在均匀介质部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体部，只有球心处存在极化电荷。

fp ρεεεεεεεεερ)1/()1(][])[(101010101-=⋅∇-=-⋅-∇=-⋅-∇=⋅-∇=D D E P所以 f p p p )1/(10-=εε在两介质交界面上，极化电荷面密度为o 020121)()()(E e E e p p e ⋅--⋅-=-⋅=r i r r p εεεεσo 0201)()(R R iRR∂∂-+∂∂--=ϕεεϕεε由于0o 21R R i RR∂∂=∂∂ϕεϕε，所以θεεπεεεεϕϕεσcos )2(2)(3)(30211210o00R p R R f R i p +-=∂∂-∂∂= 5. 空心导体球壳的外半径为1R 和2R ，球中心置一偶极子p 球壳上带电Q ，求空间各点的电势和电荷分布。

解：以球心为原点，以p 的方向为极轴方向建立球坐标系。

在1R R <及2R R >两均匀区域，电势满足拉普拉斯方程。

通解形式均为）（）（θcos 1n nn nn n P R b R a ∑++ 当∞→R 时，电势趋于零，所以2R R >时,电势可写为）（θϕcos 1o n nn n P R b∑+= (1) 当0→R 时，电势应趋于偶极子p 激发的电势：20304/cos 4/R p R f πεθπε=⋅R p所以1R R <时，电势可写为）（θπεθϕcos 4cos 20n nn n i P R a R p ∑+=(2) 设球壳的电势为s ϕ,则s n nn nR P R b ϕθϕ==∑+）（cos 12o 2(3) s n nn n R iP R a R p ϕθπεθϕ=+=∑）（cos 4/cos 12101(4)由(3)得： 20R b s ϕ= ；)0(0≠=n b n由(4)得： s a ϕ=0 ；31014/R p a πε-= ；)1,0(0≠=n a n所以R R s /2o ϕϕ=(5)310204/cos 4/cos R pR R p s i πεθϕπεθϕ-+= (6) 再由 Q R R RR s S==⋅∂∂⎰2220o 04d πϕεϕεS 得： 204/R Q s πεϕ= (7)将(7)代入(5)(6)得：R Q 0o 4/πεϕ= )(2R R >)(414cos 44cos 312303102020R R Q R R pR R Q R p i R p R p ⋅-+⋅=-+=πεπεθπεπεθϕ 在2R R =处，电荷分布为：22o42R QR D R n πϕεσ=∂∂-== 在1R R =处，电荷分布为：3104cos 3'1R p RD R i n πθϕεσ-=∂∂=-=6. 在均匀外电场0E 中置入一带均匀自由电荷f ρ的绝缘介质球（电容率为ε），求空间各点的电势。