电动力学第一章习题及其答案
1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普
适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y
y ')j
(z z ')k 为从源点指向场点的矢
量
,
E 0 , k 为常矢量,则
(r 2
a ) =(r 2
a ) (r
a 2r a , )a ) ddrr 2 r a 2r r r
2 r
i
j k (x x ') (y
y ') (z z ') i j y-y' k rr
x
y z 2 2 2 x-x' r z-z' r
r
2(x x ') (x
x ') ,同理，
x (x x ') 2 (y y ') 2
(z z ') 2
r 2 (x x ')2(y y ')2(z z ') 2
(y y ') (x x ') (y
y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 , z
2
2
(z z ') r
r e e e x x x
r (x-x')
r
(y-y') y
(z-z')
3
z
， x y z
x
x ' y y ' z
z '
0， x (a
r )
a (r ) 0 ,
) r r r r 2r r r 0 r rr
( r 1 1 3
r a
，
,
( ) [a x
(x -x' )]
[ a y (y - y')] j [a z (z -z')]
a r i k x y z r
r r r 1
r
1 r r 3 r 2
3
r ， ( A )
__0___.
r r
[E 0
sin(k r )] k E
cos(k r )
__0__.
(E 0e ik
r
)
, 当 r
0 时 , (r / r 3) ik E 0 exp(ik
r ) ,
[rf (r )] _0_. [ r f
( r )]
3f (r )
r df (r ) dr
s
3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度和散
度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则
在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满
足
4. 电荷守恒定律的微分形式为
J
t
J
0 .
5. 场强与电势梯度的关系式为， E
.对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为
P r /(4
r 4
E 1 3P r r P
3 ) ，则该点的场强为
.
r 5
r 3 a
(r
a ) 任意一点 D 的散度为 0,
Q 6. 自由电荷 均匀分布于一个半径为 的球体内,则在球外
内 (r
a )任意一点 D 的散度为 3Q
/ 4a 3 .
ar
br 7. 已知空间电场为 E 3 (a ,b 为常数），则空间电荷分布为______.
r
r 2 ar 1 r 1 3 E b
r r r 2
r 2 1 a r 2r r 4b (r )] 0E 0(arr 2 b r ) 0[ r 2
r 3
3a 2r r 4b (r )]0[ a 2 4b (r )] 0[
r 2 r 4 r
a
8. 电流 I 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内，则在导线外 (r
a ) 任意一点 B 的旋度的大
小为 0 , 导线内 (r
a )任意一点 B 的旋度的大小为
I / a 2 .
D 9. 均匀电介质（介电常数为 ）中 ,自由电荷体密度为 f
与电位移矢量 的微分关系为
D f , 束缚电荷体密度为 P 与电极化矢量 的微分关系为
P
P
,则
P
.
f P 与
f 间的关系为 P
10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为 P ，若在
P
(P 2n P 1n )
2
1 R
(P cos 0)
介质中挖去半径为 R 的球形区域，设空心球的球心到球
P
P R
面某处的矢径为 R ，则该处的极化电荷面密度为
R
P R / R .
q 11. 电量为
的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷 为 (
/ 1)q .
H 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为 J f ,磁化电流密度为 J M ,磁导率 ,磁场强度为 ，磁
化强度为M ，则
H
J
f
,
M
J M , J M 与J f 间的关系为 J /
1J f .
M
13. 在 两 种 电 介 质 的 分 界 面 上 , D , E 所 满 足 的 边 值 关 系 的 形 式 为 n
D
2
D
1f
,
- 1 -
长 沙 理 工 大 学 备 课 纸
n
E
2
E
1
0.
14. 介电常数为 的均匀各向同性介质中的电场为 E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝 ,则缝中
电场强度大小为 E .
15. 介电常数为 的无限均匀的各项同性介质中的电场为 E ，在垂
1 n
2
直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为________.
E 缝
D 2n D 1n 0
E 0E 缝
E 2
E 1 sin 1 0
E 缝 E /
, .
E E
E 2E 1 0
16. 在半径为 R 的球内充满介电常数为 的均匀介质，球心
处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球 心的立体角等于 2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介 质中的场强之比为_1:1_.
E 2 1
n
E 1
2
1
R
2
极化电荷
D 2n D 1n 0
E 1 E 1
E 2E 2
E 1 : E 2 1:1
自由电荷
17. 在半径为 R 的球内充满介电常数为 的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，
如果挖去顶点在球心的立体角等于 2 的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质 附近导体壳上的自由电荷密度之比为
/
.
D 2n D 1n 0
E E 1E 2E 2 1
D 0 D 2
内球面上
1 0 2
1
:
2 0
:
1
18. 在 两 种 磁 介 质 的 分 界 面 上 , H , B 所 满 足 的 边 值 关 系 的 矢 量 形 式 为
n
H 2 H 1
f ,
n B 2 B 0 .
1
I
2
19.一截面半径为 b 无限长直圆柱导体，均匀地流过电流 I ，则储存在单位长度导
1
体内的磁场能为__________________.
r
B 2r 0
I
r 22
B b
Ir 2 , 0 2b 22rdr b 0 2
b
W
B I 2r 2
2
2rdr
0I 2r 3dr
4b 4 0I 2b 4 16b 4
0I 2
16
1
20
1
0 42b 4
20.在同轴电缆中填满磁导率为 1,
2
的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。

设电流为 I (如图),
- 2 -。