黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2013—2014年度高二下学期期中考试试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知随机变量ξ服从正态分布)4,1(N ,则=<<-)53(ξP ( )（参考数据：68.0)(=+<<-σμξσμP ，9544.0)22(=+<<-σμξσμP ，9974.0)33(=+<<-σμξσμP ）A. 6826.0B. 9544.0C. 0026.0D. 9974.02.某咖啡厅为了了解热饮的销售量y （个）与气温)(C x 之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程a x y +-=2.当气温为C4-时,预测销售量约为（ ） A. 68 B. 66 C. 72 D. 703.交通局对上班、下班高峰时的车速情况作抽样调查,行驶时速(单位：h km /)的统计数据用茎叶图表示如下图：设上、下班时速的平均数分别为上x 、下x ，中位数分别为上m 、下m ，则( ) A ．下上x x <,下上m m < B.下上x x <,下上m m > C.下上x x >,下上m m < D.下上x x >,下上m m > 4.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) A ．24B ．18C ．16D ．123-15．设ξ的分布列为)5,4,3,2,1,0(,3231)(55=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，求)3(ξD =（ ）A.10B.30C.15D.56.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别有点数1,2,3,4,5,6的正方体)先后抛掷6次,平均出现5点或6点朝上的次数为（ ）A.2B.5C.6D.47. 设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，16=ξE ，则=+b a 5（ ）A.6B.7C.8D.98.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个， 取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 D.32 9.若30321,,,,x x x x 这30个数据的平均数为x ，方差为0.31，则x x x x x ,,,,,30321 的方差为（ ）A.0.4B.0.3C.0.04D.110.在执行下边的程序框图时，若输入,1067845698、、、、、、、、则输出的S=（ ）A.9B ．7C ．863 D ．855 11.下列说法正确的有几个（ ） （1）回归直线过样本点的中心()y x ,；（2）线性回归方程对应的直线a x b y ˆˆˆ+=至少经过其样本数据点()11,y x ，()22,y x ，()n n y x ,, 中的一个点；（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； （4）在回归分析中，2R 为0.98的模型比2R 为0.80的模型拟合的效果好. A.1 B.2 C.3 D.412.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.每个位置所用数字只有0和1,设与信息0110有X 个对应位置上的数字相同,则X 的均值为( )A.1B.4C.3D.2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.如图是求101100433221⨯+⨯+⨯+⨯ 的值的程序框图，则判断框内填写 .14.把四进制数2132化为七进制数 .15.某学校举办一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一（1）班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是 .16.一批型号相同的产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，直到将两件次品全部区分为止.假设抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是 . 三.解答题（共六小题，满分70分）17. （此题满分10分）为研究高中生在高一数学成绩与高二数学成绩之间的相关关系，随3-2机调查了某班级4名同学的高一所有数学考试平均成绩x 和高二所有数学考试平均成绩y 如下表所示.（满分5分制）（2）观察你所画出的散点图，直观判断y 与x 是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，求出回归直线方程.（注：回归方程为ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-）18. （此题满分12分）某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了180名员工进行调查，在被调查员工中有100名工作积极，80名工作一般，120名积极支持企业改革，60名不太赞成企业改革，工作积极的员工里有80%积极支持企业改革. 22⨯（2） 对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能否有99.9%的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19. （此题满分12分）某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是购买基金.买股票和基金的收益主要取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好（股票获利40000元，基金获利25000）、形势中等（股票获利10000元，基金获利15000）、形势不好（股票损失20000元，基金损失11000）.又设经济形势好、中等、不好的概率分别为0.3、0.5、0.2.试问该投资者应该选择哪一种投资方案？20. （此题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，A D C ∠90,=//,CD ABAB AD CD M ===为AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -,如图所示. （1）求证：BC AD ⊥；（2）求二面角A CD M--的余弦值.21. （此题满分12分）现对某高校160名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下。

（如：落在区间[)10,15内的频率/组距为0.0125）规定分数在[)10,20、[)20,30、[)30,40上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表。

（1）求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2）若从篮球运动员代表中依次选三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列；（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望.A MB CD A BM CD3-322.（此题满分12分）设A 、B分别是直线y x =和y x =上的动点，且AB =,设O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+.（1）求点P 的轨迹方程；（2）过点)作两条相互垂直的直线12,l l ,直线12,l l 与点P 的轨迹的相交弦分别为,CD EF ，设,CD EF 的中点分别为,M N ,求证：直线MN 恒过一个定点.13. 101?i >或102?i ≥ 14. (7)314 15. 2 16. 521三.解答题：17.（此题满分10分） （1）y54150,i i i x y ==∑12.25,x y ∙=422149.5,12.25i i x x ===∑’ ……6分41422145049ˆ249.5494i ii ii x y xy bxx ==--∴===--∑∑, ……8分ˆˆ 3.5ay bx ∴=-=- ……9分所以回归方程为：ˆ2 3.5yx =- ……10分18. （此题满分12分） （1）作出22⨯列联表 (2)由22⨯列联表可得：()2218080402040181206010080K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ …………8分21810.828K => …………10分∴有99.9%的把握认为工作积极性与对待企业改革态度有关. …………12分19. （此题满分12分）解：设购买股票获利为X,购买基金获利为Y ……1分由已知得x 的可能取值分别为40000,10000，-20000 ……2分()400000.3p x == ()100000.5p x == ()200000.2p x =-=()400000.3100000.5200000.213000E X ∴=⨯+⨯-⨯=(元) ……6分由已知得Y 的可能取值分别为25000,15000，-11000 ……2分()250000.3p x == ()150000.5p x == ()110000.2p x =-=()250000.3150000.5110000.212800E X ∴=⨯+⨯-⨯=(元)(法1)()()E X E Y ∴> ......10分 因为购买股票获利期望大于第二基金,所以选择购买股票方案. ……12分 (法2)()()2228()0.3(4000013000)0.510000130000.2200013000 4.25110D x =-+-+--=⨯()()2227()0.3(2500012800)0.515000128000.21100012800 4.77210D Y =-+-+--=⨯虽然()()E X E Y >但期望差距不大，()()D X D Y >所以选择购买基金获得期望值的稳定性更高选择购买股票稳定性低，风险大.所以选择购买基金更保险些.20. （此题满分12分）CD CD()1面ADC ⊥面ABC面ADC ⋂面ABC AC = BC ⊂面ABC BC AC ⊥BC ∴⊥面ADC …………………………3分 AD ⊂面ADCBC AD ∴⊥ …………………………4分()2取AC 中点O ，连,OD OM,A O O CA M MB ∴== O MB C ∴且12OM BC =B C A C ⊥O M A C ∴⊥,A D D C A O O C== O D A C ∴⊥BC ⊥面ADC ,OC ⊂面ADC ∴O D B C ⊥B C O MO D O M ∴⊥∴,,OD OA OM 三条线两两垂直 ……6分 以O 为空间直角坐标系的坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系O XYZ - 则()()()()()1,0,0,0,1,0,1,0,0,1,2,0,0,0,1A M C B D -- ……8分 易知面ACD 法向量可取()()()0,1,01,1,00,1,1m MC MD ==--=- 设平面MCD 法向量(),,n x y z =则 00MC n MD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y y z --=⎧⎨-+=⎩取()1,1,1n =-- ……10分3c o s ,3m n ∴=……11’∴二面角A CD M --的余弦值为3…….12分 21. （此题满分12分）()1由频率分布直方图知: ()0.06250.05000.037520.012551a ++++⨯⨯=0.0250a ∴= ……2分其中为一级运动员的概率为():0.01250.037550.25+⨯=∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25164⨯=人 ……4分()2由已知可得X 的可能取值分别为 0,1,2,3 ……5分()31231611028C P X C ===()2112431633170C C P X C ⋅=== ()121243169270C C P X C ⋅=== ()3431613140C P X C === ……7分……8分 ()3由已知得13,4YB ⎛⎫⎪⎝⎭()13344E Y np ∴==⨯= ……10分 ∴恰有一级运动员人数 Y 的期望为34人。