一．选择题第 I 卷1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有A．420 人B．480 人C．840 人D．960 人2．函数f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为A．0 B．1 C．2 D．无数个3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于x 的回归方程为yˆ= 0.7x +a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为A．B．4 2C．D．0 44．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是A．频率分布直方图中a 的值为 0.040B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等5．若A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是1 3 3 7 A．B．C．D．5 10 5 10⎩6．函数 f ( x ) =sin x ln( x + 2)的图象可能是A. B.C. D.7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的 PK 赛，A ，B 两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK ，比赛四局．除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为 316 52 A ．B ．2781 ⎧ 20 7C ．D ．27 90 , 0 < x ≤ 1 8．函数 f ( x ) = | l n x |, g ( x ) = | x 2 4 | 2, x ，若关于 x 的方程 f (x ) + m = g (x ) 恰有 1⎨ - - > 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是 A ． [0, ln 2] B ． (-2 - ln 2, 0] C ． (-2 - ln 2, 0)D ． [0, 2 + ln 2)二．填空题第 II 卷9．从区间（﹣2，3）内任选一个数 m ，则方程 mx 2+y 2＝1 表示的是双曲线的概率 为．10．一批排球中正品有 m 个，次品有 n 个，m +n ＝10（m ≥n ），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若 DX ＝2.1，从这批排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p ＝11．已知直线 y = 2x -1不曲线 y = ln(x + a ) 相切，则 a 的值为12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为 ．13．函数 f （x ）＝e x ﹣3x +2 的单调增区间为 ．14．已知函数 f （x ）＝ax +lnx ，若 f （x ）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数 a 的取值范围为．三．解答题15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有 2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出． （1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概1 率均为 3 1 1 1，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ， 6 6 2．若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故 障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元． （1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理．17．已知函数 f ( x ) = ax + 1 x+ ln x 在点（1，f （1））处的切线方程是 y ＝bx +5．（1）求实数 a ，b 的值；1（2）求函数 f （x ）在 [ , e ] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．e18．已知函数 f (x ) = xe kx (k ≠ 0) ．（1）求曲线 y = f (x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （2）讨论 f （x ）的单调性；（3）设 g (x ) = x 2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x ∈ R ，存在 x ∈[1, 2] ，使得12f (x 1 ) ≥g (x 2 ) ，求实数 b 的取值范围x 2 y 219．已知椭圆 C ： + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过 F 2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，满足 | AF 2 |= ．6（I ）求椭圆 C 的离心率．（II ）M ，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP ，NP 分别不 x 轴相较于 R ，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR |•|OQ |＝8，求椭圆C 的方程．一．选择题（共9 小题）1．C2．A3．B4．C参考答案【分析】由频率分布直方图得的性质求出a＝0.030；样本数据低于130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A 错误；样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B 错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．∴总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故C 正确；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故D 错误．故选：C．5．D【分析】五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+ ＝84 种，∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为p＝．故选：D．【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D 答案当时，，则可排除C 答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D 答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C 答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．7．C【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率．【解答】解：比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3 种；A 全胜，A 三胜一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为：P ＝（）4++＝．故选：C．8．B二．填空题（共5 小题）9．【分析】根据题意，求出方程mx2+y2＝1 表示双曲线的条件即可．【解答】解：当m∈（﹣2，0）时，方程mx2+y2＝1 表示的是双曲线，所以所求的概率为P＝＝．故答案为：．810．11．15 1ln 2 2【分析】根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为 16×0.25＝4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27．故答案为：27．13．（ln3, +∞）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0 求解指数丌等式得答案．【解答】解：由f（x）＝e x﹣3x+2，得f′（x）＝e x﹣3，由f′（x）＝e x﹣3>0，得x>ln3．∴函数f（x）＝e x﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, + ∞）．故答案为：（ln3, +∞）．14．（﹣∞，﹣]【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a 的丌等式，解出即可．【解答】解：f′（x）＝a+，①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，丌合题意；②a＜0 时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）≤1，解得：a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．三．解答题（共5 小题）15．解：（1）由题意知，所有的选派方法共有＝60 种，其中有 3 名女生的选派方法共有＝4 种，所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为60﹣4＝56 种．…（3 分）（2）X 的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5 分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，（8 分）∴的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．…………………………………（10 分）16．解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；且P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝C21××（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝C21××（1﹣）×+（）2×（1﹣）＝，P（ξ＝3）＝××＝，ξ0123PX，则η～B（3，），P（η＝k）＝••，（k＝0，1，2，3），∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；由（1）得EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．17．【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为，，………（1 分）则f'（1）＝1﹣a，f（1）＝2a，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a＝（1﹣a）（x﹣1），…………（2 分）（直线y＝bx+5 过（1，f（1））点，则f（1）＝b+5＝2a）由题意得，即a＝2，b＝﹣1．………………………………………（4 分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），……（5 分）∵，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，∴在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7 分）故f（x）在上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9 分）∴f（x）在上的最小值为f（2）＝3+ln2．………………………（10 分）又，，且．∴f（x）在上的最大值为．………………………（11 分）综上，f （x）在上的最大值为2e+1，最小值为 3+ln2．……………（12 分）18．19．【分析】（Ⅰ）设A 点的横坐标为c，代入椭圆方程求得y，即有，结合a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得e；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得MP 的方程和NP 的方程，令y＝0，可得R，Q 的坐标，由条件可得a，b 的方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设A 点的横坐标为c，代入椭圆方程得，y＝±b ＝±，解得，∴，又b2＝a2﹣c2＝ac，由e＝可得e2+ e﹣1＝0，解得；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），可得b2x02+a2y02＝a2b2，则直线MP 的方程为，令y＝0 得到R 点的横坐标为，同理可得直线NP 的方程为，令y＝0 得到Q 点的横坐标为，∴，而e＝＝，可得c2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为．。