傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的物理含义。

1. 完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。

如果 n 个函数卿（1），化（1）1，b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足j £卩心)仞MM = {监°如果是复数集，那么正交条件是j tpi(l)(p j ⑴山—{K ]"甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。

有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。

比如三角函数 集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。

先证明三角函数集：设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得ft +HI COS ticoleos iiiwl dt J L,当n 工討时=J ：綁卜恥(口 十十 COS tn - m)wt| di]ITsL (n+ ni}<ot siii (ti - injcfit 1'^ *+ (I1-T11>O J=0 (n,m=1,2,3,…；n 壬 ml )当n=m 时再证两个都是正弦的情况 设加（0 = sin阮（0 ’in mst ,把曲1）.帥⑴|代入⑴得/ t"Ttc~2[ fn + Tr>n)=J ： * *cos2no>t dt _T最后证明两个是不同名的三角函数的情况设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得Sr 『S + Tq>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41Ltip=^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n -ni)o>tl dt1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。

至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。

证毕。

由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。

接着是复指数函数集的证明设讹恥⑴™^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得加；⑴山=叫伽恤当时，根据欧拉公式// S+Ttc当n 盖血时=丿："|凶£ (n 十 in)«t -心(11 - tti)曲 I 山* to]|sui (n+ ni)cot siiitn - tc =0(n,m=1,2,3，…；n 士 n 』)当n=m 时(n ■+ m)co=丿:“心朋（n - m ）血+ j 如用做n -S131 (n - mj&r * we 就n - m>artl h T T -(n - n 讹 'J (11 - «1)帅 1当n=m 时,（n ；m=1；2；3；…,n = m ）所以，复指数函数集也是正交函数集。

因为 n, m 的取值范围是所有整数,所以复指数函数集是完备的正交函数集。

明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。

因为， 在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。

有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。

我们要研究它，基本的思想是把它拆分, 分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出 来。

把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表 示他，比如一个复杂的信号f （X ）o|把它分解，就是f （x ） -in （piO ） + 112>P2（C +…+】WnW 其中0（t ），徑⑴，…是我们所熟悉的函数，比 如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。

我们的任务就是求出所分解 出来的函数，以及前方的系数n,然后对其研究。

那么怎么求呢。

完备正交函数 集给了我们提供了一种方法。

完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有 3条轴，3 条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴， 又不能准确地表达立体空间上所有的点， 所以3条就是完备的。

对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元 素的函数就可以表达清楚。

再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。

既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集， 那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。

用复指数函数集来表示一个复杂信号fd ）：f(l) =ni(pi(l) + I12(p2(t) + …工二小恤(t)其中，QnW =严t (n=1,2,3，…;n)。

用三角函数集表示一个复杂信号KO ：f(t) = no + + a ：cos2(ix)t + …+ bjsiiiwol + bzsmtoot + …”=ao + £二 jbiLCg (uft^cit) + biisinCnrt>ot)l=0(n,m=1,2,3,…,n 盘 m )=1这就是三角形式的傅里叶展开式。

2. 傅里叶级数上面说到，三角函数集和复指数函数集都是正交完备函数集， 那么对信号的 分解任务简化成求三角函数或者复指数函数前面的系数问题了。

下面首先研究三 角形式的傅里叶级数我们知道满足狄里赫利关系的周期信号f(t),可以展开成 1X0 吕 U0 + aicmooL + a3cos2ex)( + …+ hjsiiKDot +bjsiiKOol + …=ao + £：= I hncx (ru 闻l) + bjiStn (nw^)]这种形式，现在我们来求各基函数前面的系数。

先求闻。

把三角形式的傅里叶展开式写成如下形式:f(T)= y + S ：=]hf]Ccs (1 ⑹ot) + br$in(n<i>nt)l 对上式在［■九兀1内积分，得e fe aof 算 口旳二J —dt + J y lancc$ (n ①oi) + bnsin(iioot) Idt-IT "・3I 2』-■K J%-1=llO?l■ ■ do = =f f(l)dt 兀J 7推广到一般周期的情况:求血和bji 。

用u 成恋k 讪乘( 3)，再对其两边在［-兀引内积分，得j fCOcos (knoOdt - = J" uo 込汨jlldl + E dn J-n-■*n=l■*因为三角函数集是完备正交函数集，上式右边第一第三项均为 0;第二项只有当k=n 这一项积分不为0。

所以JC 0$ (kflii ) cos (not) ciL+ bbl I cos (竝ktuOsii 直攵iwaQtiLao =-J f(t)ccs (k(wt)flt = dj CCS (k(nOcos{ntnt)dt=鬲P C TKJJ O COS(8)同理，用 sin ：A ；＜k«l)|推广到一般周期的情况:bn以上就是三角形式傅里叶级数的参数推导。

复指数形式傅里叶级数接着研究复指数形式傅里叶级数。

e - i 血t _ (iiol) - ji>iii(iKot)[(4)+(5)]/2 得cos(1104)=推睑t + e j 曲)[(4)-(5)]/2 得sin (iifot)=岂严t -亡 如)可以得出复指数形式的傅里叶级数公式卄严+占用L 优替孑化简合并得到憊)=帥+葺1(罟靭加仃筈忖购+ees[^'i2nc nl)d1an =推广到一般周期的情况：从而有: 根据欧拉公式:严"-COS (ncoO +jsin(nwi)乘(3)可以求得 hn = GimtM把⑹,(7)代人(3)。

对于(8)式。

其中的参数有丁和丁另F n = 二也严,Fo = ao(8)式可化成(9)(8)(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。

现在求1订，将上式两边同乘［e'H ，并在一个周期内求积分得:当m=n 时三F1, • 231当n 时,=…闷dt-CD-fl=,cos (Ti - in)ciH dt J ： ^\n (ii - nOou cu]三角函数在其周期内积分为壮各复指数项的系数推广到一般周期的情况3. 傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的重要性不仅仅在于它能把复杂的周期信号分解成一个个简单 的函数的线性叠加，更重要的是，它提供一种分析信号的新思路一一换一个角度 来研究。

当我们在作图的时候，把x 轴作为时间轴时候，我们硬性思维地把信号 作为时间的函数，研究随着时间的不同，信号的变化情况。

尽管我们把一个信号 再变化，也再难深入研究了，因为只在时间这个角度，难以挖掘更多关于这个信 号的信息了。

但当我们把信号变成三角函数的叠加的时候，信号的信息就喷涌而 出。

根据所叠加的不同三角函数的W 不同，我们可以以M 为x 轴，作频率谱线, 研究一个信号所叠加的不同频率。

根据所叠加的不同三角函数的 b 不同，我们还 可以以d 为x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。

本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得到了启发。

我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中的意 义。

f Rt)e -加 al宙=-?r-co欧拉展开2、图二在没有傅里叶级数之前，我们研究信号，看到的是图二的时域图像， 把时域的图像信息挖掘殆尽之后，这个信号就被研究透彻了。

然而并不是这样的。

用傅里叶级数，我们从图一的红色箭头方向看图。

得出频域图像，这能让我们分 清晰一个信号里面所包含的各种不同的频率。

时域和频域对于研究一个信号来说，同等的重要。

傅里叶级数为我们研究信 号提供了一种新的思想，我们能更全面地去认识一个信号。

杨煜基 2016年3月10当我们 0图一■2-22015■%6。