广东中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类(深圳专版)(5)——三角形一.选择题(共23小题)1.(2020•福田区校级模拟)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,以AD 为边向外作等边△ADE ,AE =√6,连接CE ,交BD 于F ,若点M 为AB 的延长线上一点,连接CM ,连接FM 且FM 平分∠AMC ,下列选项正确的有( )①DF =√3−1;①S △AEC =3(1+√3)2;①∠AMC =60°;①CM +AM =√2MF .A .1个B .2个C .3个D .4个2.(2020•龙华区二模)如图,直线a ∥b ∥c ,等边三角形△ABC 的顶点A 、B 、C 分别在直线a 、b 、c 上,边BC 与直线c 所夹的角∠1=25°,则∠2的度数为( )A .25°B .30°C .35°D .45°3.(2020•宝安区二模)如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M 、N 两点,连接MN ,交AB 于点H ,以点H 为圆心,HA 的长为半径作的弧恰好经过点C ,以点B 为圆心,BC 的长为半径作弧交AB 于点D ,连接CD ,若∠A =22°,则∠BDC =( )A .52°B .55°C .56°D .60°4.(2020•福田区一模)如图,正方形ABCD 中,E 是BC 延长线上一点,在AB 上取一点F ,使点B 关于直线EF 的对称点G 落在AD 上,连接EG 交CD 于点H ,连接BH 交EF 于点M ,连接CM .则下列结论,其中正确的是( )①∠1=∠2;①∠3=∠4;①GD =√2CM ;①若AG =1,GD =2,则BM =√5.A .①①①①B .①①C .①①D .①①①5.(2020•光明区一模)如图,AB ∥CE ,∠A =40°,CE =DE ,则∠C =( )A .40°B .30°C .20°D .15°6.(2020•南山区模拟)如图,△ABC 中,AB =5,AC =4,以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB 、AC 于D 和E ,再分别以点D 、E 为圆心,大于二分之一DE 为半径作弧,两弧交于点F ,连接AF 并延长交BC 于点G ,GH ⊥AC 于H ,GH =2,则△ABG 的面积为( )A .4B .5C .9D .107.(2020•龙岗区模拟)平面直角坐标系中,已知A (1,2)、B (3,0).若在坐标轴上取点C ,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C 的个数是( )A .5B .6C .7D .88.(2020•宝安区三模)如图,在三角形ABC 中,AB =AC ,BC =6,三角形DEF 的周长是7,AF ⊥BC 于F ,BE ⊥AC 于E ,且点D 是AB 的中点,则AF =( )A .√5B .√7C .√3D .79.(2020•龙岗区校级模拟)如图,△ABC 中,D 是AB 的中点,E 在AC 上,且∠AED =90°+12∠C ,则BC +2AE 等于( )A .AB B .AC C .32ABD .32AC 10.(2020•南山区校级一模)等腰三角形的一边为4,另一边为9,则这个三角形的周长为( )A .17B .22C .13D .17或2211.(2019•罗湖区一模)由三角函数定义,对于任意锐角A ,有sin A =cos (90°﹣A )及sin 2A +cos 2A =1成立.如图,在△ABC 中,∠A ,∠B 是锐角,BC =a ,AC =b ,AB =c .CD ⊥AB 于D ,DE ∥AC 交BC 于E ,设CD =h ,BE =a ',DE =b ',BD =c ',则下列条件中能判定△ABC 是直角三角形的个数是( ) ①a 2+b 2=c 2;①aa '+bb '=cc ';①sin 2A +sin 2B =1;①1a 2+1a 2=1a 2.A .1个B .2个C .3个D .4个12.(2019•龙华区二模)如图,已知a ∥b ,将一块等腰直角三角板的两个顶点分别放在直线a 、b 上.若∠1=23°,则∠2的度数为( )A .68°B .112°C .127°D .132°13.(2019•福田区校级模拟)如图,在△ABC 中,∠B =45°,∠ACB =60°,AB =16,AD ⊥BC ,垂足为D ,∠ACB 的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为( )A .83√2B .4√2C .163√2D .6√214.(2019•罗湖区一模)在联欢会上,甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A 、B 、C 上,他们在玩抢凳子的游戏,要在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放的最恰当的位置是△ABC 的( )A .三条高的交点B .重心C .内心D .外心15.(2019•福田区校级模拟)下列性质中,直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是( )A .两边之和大于第三边B .内角和等于180°C .有两个锐角的和等于90°D .有一个角的平分线垂直于这个角的对边16.(2018•南山区校级二模)如图,等腰△ABC 中,AB =AC =10,BC =6,直线EF 垂直平分AB 交AC 于D ,连接BD ,则△BCD 的周长等于( )A .13B .14C .15D .1617.(2018•龙岗区校级二模)等腰三角形的两边分别为1和2,则其周长为( )A .4B .5C .4或5D .无法确定18.(2020•盐田区二模)如图,直线AB ∥CD ,直线EF 分别交AB ,CD 于E ,F 两点,EG 平分∠AEF .若∠1=29°,则∠2=()A.29°B.58°C.61°D.60°19.(2020•福田区一模)如图,已知a∥b,点A在直线a上,点B,C在直线b上,若∠1=125°,∠2=50°,则∠3为()A.55°B.65°C.70°D.75°20.(2020•坪山区一模)如图,AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于()A.97°B.116°C.122°D.151°21.(2020•福田区校级模拟)如图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,EG平分∠AEF,如果∠1=32°,那么∠2的度数是()A.64°B.68°C.58°D.60°22.(2019•福田区一模)如图,已知a∥b,点A在直线a上,点B、C在直线b上,∠1=120°,∠2=50°,则∠3为()A.70°B.60°C.45°D.30°23.(2019•宝安区二模)如图,将一副直角三角板按图中所示的位置摆放,两条斜边互相平行,则∠1=()A.75°B.70°C.65°D.60°二.填空题(共8小题)24.(2020•龙岗区校级模拟)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,M为AB边的中点,连结ME、MD、ED,设AB=10,∠DBE=30°,则△EDM的面积为.25.(2020•龙岗区一模)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D,过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F,若AB=8,AC=4,则CF的长为.26.(2020•宝安区校级一模)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…则OA8的长度为.27.(2020•龙岗区模拟)如图△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∠DAE=60°,BD=5,CE=8,则DE的长为.28.(2019•深圳三模)如图,在△ABC中,AB=AC.M、N分别是AB、AC的中点,D、E为BC上的点,连接DN、EM.若AB=5cm,BC=6cm,DE=3cm,则图中阴影部分的面积为cm2.29.(2019•福田区校级模拟)如图,△ABC中,AB=AC=8,D为BC上一点,BD=3,∠ADE=∠B=30°,则AE的长为.30.(2020•龙岗区校级模拟)如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE.设△ADF 的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S△ABC=6,则S1﹣S2=.31.(2019•深圳模拟)如图,△ABC的顶点均在坐标轴上AE⊥BC于点E,交y轴于点D,已知点B,C的坐标分别为B(0,6),C(2,0).若AD=BC,则△AOD的面积为.三.解答题(共5小题)32.(2020•宝安区二模)如图1,在平面直角坐标系中,等边△ABC的边BC在x轴上,A(0,3),B(−√3,0),点M(m,0)为x轴上的一个动点,连接AM,将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN.(1)当M点在B点的左方时,连接CN,求证:△BAM≌△CAN;(2)如图2,当M点在边BC上时,过点N作ND∥AC交x轴于点D,连接MN,若S四边形ACDN=43S△MND,试求D点的坐标;(3)如图3,是否存在点M,使得点N恰好在抛物线y=﹣2x2+4√3x+3上,如果存在,请求出m的值,如果不存在,请说明理由.33.(2020•龙岗区模拟)四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.34.(2020•龙岗区模拟)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,求证:AC =AE+CD.35.(2019•宁波一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.36.(2019•南山区一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.点D是AB中点,点E为边AC 上一点,连接CD,DE,以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF,连接BF.(1)△BCD的形状为;(2)随着点E位置的变化,∠DBF的度数是否变化?并结合图说明你的理由;(3)当点F落在边AC上时,若AC=6,请直接写出DE的长.广东中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类(深圳专版)(5)——三角形参考答案与试题解析一.选择题(共23小题)1.【答案】C【解答】解:如图,过点F作FG⊥CD于G,作∠HFC=∠DCE,交CD于H,连接OE交AD于P,连接AF,在AM上截取MQ=MC,连接FQ,∵四边形ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,∴AD=CD,AE=AD=√6,∠ADE=60°,∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,∴∠EDC=150°,DE=DC=√6,∴∠DEC=∠DCE=15°,∴∠HFC=∠DCE=15°,∴HC=HF,∠FHG=30°,∵FG⊥CD,∠BDC=45°,∠FHG=30°,∴DG=GF,GH=√3GF,HF=2GF=HC,∴DF=√2GF,∵CD=DG+HG+HC=(3+√3)GF=√6,∴GF=√6−√22,∴DF=√2GF=√3−1,故①正确;∵DE=AE,DO=AO,∴EO垂直平分AD,∴EP⊥AD,又∵△AED是等边三角形,AD=DE=√6,∴AP=√62,EP=√3AP=3√22,∵DO=AO,∠AOD=90°,OP⊥AD,AD=√6,∴OP=√6 2,∴EO=OP+EP=3√2+√62,∵S△AEC=S△AEO+S△EOC=12×3√2+√62×√6=3(√3+1)2,故①正确;∵FM平分∠AMC,∴∠CMF=∠AMF,又∵CM=QM,FM=FM,∴△CMF≌△QMF(SAS),∴∠MCF=∠FQM,FC=FQ,∵AD=CD,∠ADB=∠CDB,DF=DF,∴△ADF≌△CDF(SAS),∴AF=CF,∠DCF=∠DAF=15°,∴∠F AQ=75°,F A=FQ=FC,∴∠FQA=F AQ=75°,∴∠FQM=∠FCM=105°,∴∠DCM=120°,∵DC∥AB,∴∠AMC+∠DCM=180°,∴∠AMC=60°,故①正确;如图,过点C作CN⊥MF于N,设BM=a,∵∠CBM=90°,∠CMB=60°,∴CM=2BM=2a,CB=√3a=AB,∴AM=√3a+a,∴AM+CM=(√3+3)a,∵∠CMF=12∠CMA=30°,∴∠CFM=180°﹣105°﹣30°=45°,∵CN⊥FM,∠CMN=30°,∠CFM=45°,∴CN=12CM=a,MN=√3a,FN=CN=a,∴MF=√3a+a,∴AM+CM=√3MF,故①错误,故选:C.2.【答案】C【解答】解:∵b∥c,∴∠3=∠1=25°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠4=∠ABC﹣∠3=60°﹣25°=35°,∵a∥b,∴∠2=∠4=35°,故选:C.3.【答案】C【解答】解:连接CH,由题意得,直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AH=BH,∵CH=AH,∴CH=12 AB,∴∠ACB=90°,∵∠A=22°,∴∠ACH=∠A=22°,∴∠BCH=∠B=68°,∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD=12(180°﹣68°)=56°,故选:C.4.【答案】A【解答】解:如图1中,过点B作BK⊥GH于K.∵B,G关于EF对称,∴EB=EG,∴∠EBG=∠EGB,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=∠BCD=90°,AD∥BC,∴∠AGB=∠EBG,∴∠AGB=∠BGK,∵∠A=∠BKG=90°,BG=BG,∴△BAG≌△BKG(AAS),∴BK=BA=BC,∠ABG=∠KBG,∵∠BKH=∠BCH=90°,BH=BH,∴Rt△BHK≌Rt△BHC(HL),∴∠1=∠2,∠HBK=∠HBC,故①正确,∴∠GBH=∠GBK+∠HBK=12∠ABC=45°,过点M作MQ⊥GH于Q,MP⊥CD于P,MR⊥BC于R.∵∠1=∠2,∴MQ=MP,∵∠MEQ=∠MER,∴MQ=MR,∴MP=MR,∴∠4=∠MCP=12∠BCD=45°,∴∠GBH=∠4,故①正确,如图2中,过点M作MW⊥AD于W,交BC于T.∵B,G关于EF对称,∴BM=MG,∵CB=CD,∠4=∠MCD,CM=CM,∴△MCB≌△MCD(SAS),∴BM=DM,∴MG=MD,∵MW⊥DG,∴WG=WD,∵∠BTM=∠MWG=∠BMG=90°,∴∠BMT+∠GMW=90°,∵∠GMW+∠MGW=90°,∴∠BMT=∠MGW,∵MB=MG,∴△BTM≌△MWG(AAS),∴MT=WG,∵MC=√2TM,DG=2WG,∴DG=√2CM,故①正确,∵AG=1,DG=2,∴AD=AB=TM=3,EM=WD=TM=1,BT=AW=2,∴BM=√aa2+aa2=√22+12=√5,故①正确,故选:A.5.【答案】C【解答】解:∵AB∥CE,∴∠AEC=∠A=40°,∵CE=DE,∴∠C=∠D,∴∠AEC=∠C+∠D=2∠C,∴∠C=12∠AEC=12×40°=20°.故选:C.6.【答案】B【解答】解:作GM⊥AB于M,如图,由作法得AG平分∠BAC,而GH⊥AC,GM⊥AB,∴GM=GH=2,∴S△ABG=12×5×2=5.故选:B.7.【答案】C【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(1,2)、B(3,0).∴AB=2√2,①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(B点除外),即(﹣1,0)、(0,2+√7)、(0,2−√7),即满足△ABC是等腰三角形的C点有3个;①若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;①若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个.综上所述:点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有7个.故选:C.8.【答案】B【解答】解:∵AF⊥BC,BE⊥AC,D是AB的中点,∴DE=DF=12 AB,∵AB=AC,AF⊥BC,∴点F是BC的中点,∴BF=FC=3,∵BE⊥AC,∴EF=12BC=3,∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=7,∴AB=4,由勾股定理知AF=√aa2−aa2=√7,故选:B.9.【答案】B【解答】解:如图,过点B作BF∥DE交AC于点F.则∠BFC=∠DEF.又∵点D是AB的中点,∴EF=AE.∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣(90°+12∠C)=90°−12∠C,∴∠FBC=∠BFC,∴BC=FC,∴BC+2AE=AC.故选:B.10.【答案】B【解答】解:当腰长为4时,则三角形的三边长为:4、4、9;∵4+4<9,∴不能构成三角形;因此这个等腰三角形的腰长为9,则其周长=9+9+4=22.故选:B.11.【答案】D【解答】解:∵a2+b2=c2,∴∠ACB=90°,∴△ABC 是直角三角形,故①正确, ∵DE ∥AC , ∴△DEB ∽△ACB ,∴aa aa =aa aa =aa aa , ∴a′a =a′a =a′a ,不妨设a′a =a′a =a′a =k , 则a ′=ak ,b ′=bk ,c ′=ck , ∵aa '+bb '=cc ',∴a 2k +b 2k =c 2k ,∴a 2+b 2=c 2,∴△ABC 是直角三角形,故①正确,∵sin 2A +sin 2B =1,sin 2A +cos 2A =1,∴sin 2B =cos 2A ,∴sin B =cos A ,∵sin A =cos (90°﹣A ),∴90°﹣∠B =∠A ,∴∠A +∠B =90°,∴△ABC 是直角三角形,故①正确,∵1a 2+1a 2=1a 2, ∴a 2a 2+a 2a 2=1,∴sin 2B +sin 2A =1,∴△ABC 是直角三角形,故①正确.故选:D .12.【答案】B【解答】解:如图,∵a ∥b ,∴∠1=∠3=23°,∵∠4=45°,∠2=∠5,∴∠2=180°﹣∠3﹣∠5=112°,故选:B .13.【答案】C【解答】解:在Rt △ABD 中,∵∠ADB =90°,AB =16,∠B =45°,∴BA =DA =8√2,在Rt △ADC 中,∵∠ADC =90°,∠ACD =60°,AD =8√2,∴CD =8√63,∵CE 平分∠ACD ,∴∠ECD =30°,∴DE =CD •tan30°=8√23, ∴AE =AD ﹣DE =8√2−8√23=16√23,故选:C .14.【答案】D【解答】解:∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等,∴凳子应放在△ABC 的三条垂直平分线的交点最适当.15.【答案】C【解答】解:A、两边之和大于第三边,不符合题意;B、对于任意一个三角形都有内角和等于180°,不符合题意;C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°,符合题意;D、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边,而直角三角形(等腰直角三角形除外)没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边,不符合题意.故选:C.16.【答案】D【解答】解:∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵AB=AC=10,∴BD+CD=AD+CD=AC=10,∴△BCD的周长=AC+BC=10+6=16.故选:D.17.【答案】B【解答】解:由题意可知,三角形为等腰三角形,又由三边关系得出三角形第三边只能是2,所以周长是5.若另一边是1的话,则1+1=2不成立.故选:B.18.【答案】B【解答】解:∵AB∥CD,∴∠1=∠AEG.∵EG平分∠AEF,∴∠AEF=2∠AEG,∴∠AEF=2∠1=58°.∵AB∥CD,∴∠2=58°.故选:B.19.【答案】D【解答】解:∵a∥b,∠1=125°,∴∠ACD=125°,∵∠2=50°,∴∠3=125°﹣50°=75°.故选:D.20.【答案】D【解答】解:∵AB∥CD,∠1=58°,∴∠EFD=∠1=58°,∵FG平分∠EFD,∴∠GFD=12∠EFD=12×58°=29°,∵AB∥CD,∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°.故选:D.21.【答案】A【解答】解:∵AB∥CD,∴∠1=∠AEG.∵EG平分∠AEF,∴∠AEF=2∠AEG,∴∠AEF=2∠1=64°.∴∠2=64°.22.【答案】A【解答】解:∵a ∥b ,∠1=120°,∴∠ACD =120°,∵∠2=50°,∴∠3=120°﹣50°=70°,故选:A .23.【答案】A【解答】解:如图,∵AB ∥DE ,∴∠ABC =∠D =45°,又∵∠A =30°,∴∠1=∠A +∠ABC =75°,故选:A .二.填空题(共8小题)24.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵在△ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为点D ,BE ⊥AC ,垂足为点E ,∴△ABE ,△ADB 是直角三角形,∴EM ,DM 分别是它们斜边上的中线,∴EM =DM =12AB =5,∵ME =12AB =MA ,∴∠MAE =∠MEA , ∴∠BME =2∠MAE , 同理,MD =12AB =MA ,∴∠MAD =∠MDA ,∴∠BMD =2∠MAD ,∴∠EMD =∠BME ﹣∠BMD =2∠MAE ﹣2∠MAD =2∠DAC =60°,∴△EDM 是边长为5的等边三角形,∴S △EDM =√34×52=25√34. 故答案为:25√34.25.【答案】见试题解答内容【解答】解:连接CD ,DB ,过点D 作DM ⊥AB 于点M ,∵AD 平分∠F AB ,∴∠F AD =∠DAM ,在△AFD 和△AMD 中,{∠aaa =∠aaaaaaa =aaaa aa =aa,∴△AFD ≌△AMD (AAS )∴AF =AM ,FD =DM ,∵DE 垂直平分BC∴CD =BD ,在Rt △CDF 和Rt △BDM 中,{aa =aa aa =aa , ∴Rt △CDF ≌Rt △BDM (HL )∴BM =CF ,∵AB =AM +BM =AF +MB =AC +CF +MB =AC +2CF ,∴8=4+2CF ,解得,CF =2,故答案为:2.26.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵△OAA 1为等腰直角三角形,OA =1,∴AA 1=OA =1,OA 1=√2OA =√2;∵△OA 1A 2为等腰直角三角形,∴A 1A 2=OA 1=√2,OA 2=√2OA 1=2;∵△OA 2A 3为等腰直角三角形,∴A 2A 3=OA 2=2,OA 3=√2OA 2=2√2;∵△OA 3A 4为等腰直角三角形,∴A 3A 4=OA 3=2√2,OA 4=√2OA 3=4.∵△OA 4A 5为等腰直角三角形,∴A 4A 5=OA 4=4,OA 5=√2OA 4=4√2.∵△OA 5A 6为等腰直角三角形,∴A 5A 6=OA 5=4√2,OA 6=√2OA 5=8.∴OA 8的长度为√2=16.故答案为:16.27.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵AB =AC ,∴可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AE ′B ,∴BE ′=EC =8,AE ′=AE ,∠E ′AB =∠EAC ,∵∠BAC =120°,∠DAE =60°,∴∠BAD +∠EAC =60°,∴∠E ′AD =∠E ′AB +∠BAD =60°,在△E ′AD 和△EAD 中{aa ′=aa aa′aa =aaaa aa =aa,∴△E ′AD ≌△EAD (SAS ),∴E ′D =ED ,过E ′作EF ⊥BD 于点F ,∵AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =∠C =∠E ′BA =30°,∴∠E′BF=60°,∴∠BE′F=30°,∴BF=12BE′=4,E′F=4√3,∵BD=5,∴FD=BD﹣BF=1,在Rt△E′FD中,由勾股定理可得E′D=√(4√3)2+12=7,∴DE=7.故答案为7.28.【答案】见试题解答内容【解答】解:连接MN,作AF⊥BC于F,∵M、N分别是AB、AC的中点,∴MN=12BC=3,MN∥BC,∴AF⊥MN,∵AB=AC,AF⊥BC,∴FC=12BC=3,在Rt△AFC中,AF=√aa2−aa2=4,图中阴影部分的三个三角形的底长都是3cm,高的和为4cm,∴图中阴影部分的面积=12×3×4=6(cm2),故答案为:6.29.【答案】见试题解答内容【解答】解:如下图所示∵AB=AC∠B=∠C=30°=∠ADE而∠ADB=∠DAE+∠C∠DEC=∠DAE+∠ADE∴∠ADB=∠DEC又由∠B=∠C∴△ABD∽△DCE∴aa aa =aa aa又∵AB =8,∠B =30°∴AM =4,BM =CM =4√3∴CD =8√3−3于是有3aa = ∴CE =3√3−98于是AE =AC ﹣CE =8﹣3√3+98=738−3√3 故答案为738−3√3.30.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵BE =CE ,∴BE =12BC ,∵S △ABC =6, ∴S △ABE =12S △ABC =12×6=3.∵AD =2BD ,S △ABC =6, ∴S △BCD =13S △ABC =13×6=2,∵S △ABE ﹣S △BCD =(S △ADF +S 四边形BEFD )﹣(S △CEF +S 四边形BEFD )=S △ADF ﹣S △CEF ,即S △ADF ﹣S △CEF =S △ABE ﹣S △BCD =3﹣2=1.故答案为:131.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵AE ⊥BC ,∴∠AEC =90°,∵∠EAC +∠ACE =90°,∠DAO +∠ADO =90°,∴∠ADO =∠ACE ,在△ADO 和△BCO 中{∠aaa =∠aaaaaaa =aaaa aa =aa,∴△ADO ≌△BCO (AAS ),∴OD =OC =2,OA =OB =6,∴△AOD 的面积=12×2×6=6. 故答案为6.三.解答题(共5小题)32.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC =60°,AB =AC ,∵将AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN ,∴AM =AN ,∠MAN =60°=∠BAC ,即∠CAN +∠BAN =∠MAB +∠BAN ,∴∠CAN =∠MAB ,∴△BAM ≌△CAN (SAS );(2)如图1,连接CN ,由(1)可知△BAM ≌△CAN ,∴∠B =∠ACN =60°,∵DN ∥AC ,∴∠NDC =∠ACB =60°,∴∠NCD =60°,∴△CDN 是等边三角形,∴CN =DN ,∠CND =60°,∵AM =AN ,∠MAN =60°,∴△AMN 是等边三角形,∴AN =MN ,∠ANM =60°,∴∠ANC =∠MND ,∴△ANC ≌△MND (SAS ),∴S △ACN =S △MND ,∵S 四边形ACDN =43S △MND =S △ACN +S △CDN , ∴13a △aaa =a △aaa ,∴CD =13aa =13AB ,∵A (0,3),B (−√3,0),∴OA =3,OB =√3,∴AB =√aa 2+aa 2=2√3,∴CD =2√33,∴OD =OC +CD =√3+2√33=5√33, ∴D (5√33,0);(3)如图2,过点C 作CE ∥AB 交y 轴于点E ,由(1),(2)可知点N 在直线CE 上,CE 与抛物线交于点N 1,N 2,∴∠ABC =∠OCE =60°,OC =OB =√3, ∴OE =3,∴E (0,﹣3),设直线CE 的解析式为y =kx +b , ∴{√3a +a =0a =−3,解得:{a =√3a =−3, ∴直线CE 的解析式为y =√3x ﹣3,∴{a =−2a 2+4√3a +3a =√3a −3, 解得:{a 1=2√3a 1=3,{a 2=−√32a 2−92, ∴N 1(2√3,3),N 2(−√32,−92), 若AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN 1时,M (m ,0), ∴AM =AN 1=2√3,∵AB =2√3,AN 1∥x 轴,∴点M 与点C 重合,即m =√3,若AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN 2时,M (m ,0), ∵C (0,√3),∴CN 2=(√3+|32)2+(0+92)2=3√3, 由(1)可知BM 2=CN 2=3√3,∴OM 2=OB +BM 2=√3+3√3=4√3, ∴m =﹣4√3.综合以上可得,m =√3或﹣4√3.33.【答案】见试题解答内容【解答】证明:(1)∵BE =DF , ∴BE ﹣EF =DF ﹣EF ,即BF =DE ,∵AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,∴∠AED =∠CFB =90°,在Rt △ADE 与Rt △CBF 中,{aa =aa aa =aa , ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF ;(2)如图,连接AC 交BD 于O ,∵Rt △ADE ≌Rt △CBF ,∴∠ADE =∠CBF ,∴AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AO =CO .34.【答案】见试题解答内容 【解答】证明:在AC 上取AF =AE ,连接OF ,∵AD 平分∠BAC 、∴∠EAO =∠F AO ,在△AEO 与△AFO 中,{aa =aa aaaa =aaaa aa =aa∴△AEO ≌△AFO (SAS ),∴∠AOE =∠AOF ;∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ,∴∠ECA +∠DAC =12∠ACB +12∠BAC =12(∠ACB +∠BAC )=12(180°﹣∠B )=60°则∠AOC =180°﹣∠ECA ﹣∠DAC =120°;∴∠AOC =∠DOE =120°,∠AOE =∠COD =∠AOF =60°, 则∠COF =60°,∴∠COD =∠COF ,∴在△FOC 与△DOC 中,{∠aaa =∠aaa aa =aa aaaa =aaaa,∴△FOC ≌△DOC (ASA ),∴DC =FC ,∵AC =AF +FC ,∴AC =AE +CD .35.【答案】见试题解答内容 【解答】(1)证明:∵AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB ,∠C =90°, ∴CD =ED ,∠DEA =∠C =90°,∵在Rt △ACD 和Rt △AED 中{aa =aaaa =aa , ∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL );(2)∵DC =DE =1,DE ⊥AB ,∴∠DEB =90°,∵∠B =30°,∴BD =2DE =236.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°, ∴AB =2BC ,∠CBD =60°.∵点D 是AB 中点,∴BD =BC ,∴△BCD 为等边三角形.故答案为:等边三角形.(2)∠DBF 的度数不变,理由如下:∵∠ACB =90°,点D 是AB 中点,∴CD =12AB =AD , ∴∠ECD =30°.∵△BDC 为等边三角形,∴BD =DC ,∠BDC =60°.又∵△DEF 为等边三角形,∴DF =DE ,∠FDE =60°,∴∠BDF +∠FDC =∠EDC +∠FDC =60°,∴∠BDF =∠CDE .在△BDF 和△CDE 中,{aa =aaaaaa =aaaa aa =aa ,∴△BDF ≌△CDE (SAS ),∴∠DBF =∠DCE =30°,即∠DBF 的度数不变.(3)∵△DEF 为等边三角形,∴∠DEF =∠DFE =60°.∵∠A =∠ECD =30°,∴∠ADE =∠CDF =30°,∴△CDF 、△ADE 为等腰三角形,∴CF =DF =EF =DE =AE ,∴DE =AE =13AC =2.。