分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。

6、若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值. 7、如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分1、将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分 1、约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算 1、计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；(5）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题 1、先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；题型五：求待定字母的值 例、若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算 计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x（5）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.（五）、分式中的变形求值1、变形代入： ①若2=+a b b a ，则ba ba 22-+的值为_______。

②已知1111x yx y+-=-+，则2(3)(3)x y x +++的值为_______。

③已知0=++c b a ，且0≠abc ，求222222222111c b a b c a a c b -++-++-+的值为__________。

2、整体代入： ①若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为___________。

②已知ba b a +=-311，则a bb a -的值为_______。

变式：已知b a b a +=+511，则ab b a +的值为_______。

③已知115x y -=，则323x xy yx xy y--+-的值为的值为 。

已知31211=-y x ，则xxy y yxy x ---+32432的值为 。

已知532232=---+y xy x y xy x ，则y x 11-的值为______________。

3、xx 1±型的变形： ①若13x x+=，则2421x x x =++__________。

变式1：若51=--x x ，则=+-2x x __________。

4、设比值： ①若234234a b c +++==，且18a b c ++=，则2a b c -+=__________。

②若a c c b b a ==，则=--++cb ac b a 3223 。

5、消元思想：①已知0634=--z y x ，072=-+z y x （0≠xyz ），则22222275632zy x z y x ++++=_____________。

②如果11=+b a ，11=+c b ，则=+ac 1________。

6、裂项： ①若5=+xy y x ，6=+yz z y ，7=+xzzx ，则z y x 111++的值为________。

7、取倒：①若1132=+-x x x，则=+-19242x x x ______________。

②已知31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，则bcac ab abc++=_____________。

第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程 1、解下列分式方程（1）xx 311=-； （2）0132=--x x ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程2、解下列方程3、解下列方程组 （1）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x zz yy x题型三：求待定字母的值 例、若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.题型五：解分式方程 1．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）171372222--+=--+x x x x xx （4）22322=--+x x x ； （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法 二、化归法例1．解方程：231+=x x 例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法 四、观察比较法例3：解方程：87178=----x x x 例4．解方程：417425254=-+-x x x x五、分离常数法 六、分组通分法例5．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x 例6．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法1、若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。

2、若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。

3、若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

4、若关于x 的方程1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。

5、当a= 时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1．6、当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足 ．分式方程应用题一．行程问题（1）一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。