a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
5、渐近线方程： x y 0 ab
6、离心率： e=c/a
Y
F2 B2
o
B1
F2
A2 X
2020年10月2日
5
例题1:求双曲线 9x2 16y2 144的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
c
1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 a2
y2 b2
1
B2
F1
A1
2020年10月2日
A2 F2 X B1
2
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x 2 y 2 1 a2 b2
双曲线性质：
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
xy
|y|≥5 (0,±5)
0, 74
e 74 5
x7 y 57
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证:
(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
Y
F1
B2
F’1 A1 o
B1
X
A2 F’2
F2
2020年10月2日
标准 方程
x2 y2 1
a2 b2
范 围 |x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
(±a,0),(0,±b)
焦点
(±c,0)
对 称 轴 A1A2 ; B1B2
离心率 准线
e c a
x a2 c
2020年10月2日
椭圆的图像与性质
Y
B2
A1
F1
o
A2
F2
X
x a2 c
B1
x a2
2b
4
范围
|x|≥
顶点
4 2,
焦点
6,0
离心率
e 3 2 2
渐进线
y 2x
2020年10月2日
4
42 82
9 x 2 y 2 81 x 2 y 2 4
6
4
18
4
x2 y 2 1 49 25
10
14
|x|≥3
|y|≥2
(±3,0)
(0,±2)
31,00 0,2 2
e 10
e 2
y=±3x
8
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A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程：
6、离心率： e= c
a
x y 0 ab
Y
B2
X
A2
B1
2020年10月2日
3
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 x2 1
a2 b2
F2
A2
B1
2020年10月2日
O
B2
A1
F1
X
4
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
y2
x2
1
解：把方程化为标准方程： y 2
42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
e c a
5 4
渐近线方程:
x 3 y, 即
4
y 4x 3
2020年10月2日
6
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32
程
2a
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9