a
e越小，椭圆越圆
x2 y2
研究双曲线 a2 b2 1(a 0,b 0) 的简单几何性质
1、范围 x a, x a y R
由双曲线的标准方程得 x2 1 y2 1
a2
b2
x2 a2
≥ 1, 即x 2
≥
a2
y
x≥a, x ≤ a
双曲线的范围是在不 等式 x a 、x a
y
图形
F1
o
F2 x
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y
o
x
范围
x a, x a, y R
y b, y b, x R
对称性 顶点
关于x轴、y轴对称，原点对称
a,0,a,0
关于x轴、y轴对称，原点对称
0,b, 0, b
离心率 渐近线
标准方程 图形
x2 y2
-
=1
16 9
y
3-
F1 -4 o 4 F2 x -3 -
y2 x2
-
=1
16 9
y
4
Io I
-3
3x
-4
范围
x a, x a, y R
对称性 顶点 实轴、虚轴长
离心 率
渐近
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
4,0,4,0
实轴长为8、虚轴长为6
e=5 4
y
y
b a
x
思考：渐近线是双曲线特有的几何质，
它与曲线的点有怎样的位置关系？渐近
b B2
线的斜率又与曲线的形状有怎样的关系
呢？。
渐近线的演示
A1
A2
oa x
双曲线上的点向外延伸时，与这两条渐
近线逐渐接近。
B1
b
渐近线的斜率的绝对值越大时，曲线的 开口越大，反之亦然。
y a
x
y b x a
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与 直线逐渐靠拢。
e c ,e 1 a
e越大，开口越大 e越小，开口越小
e

c ,e a
1
e越大，开口越大 e越小，开口越小
y b x ，b 越大，开口越大 y a x ，b 越大，开口越大
a a 越小，开口越小
b
a 越小，开口越小
试写出双曲线 9x2 16 y2 144 与 9 y2 16x2 144 的几何性质
当x逐渐增大时，MN 逐渐减小，x无限增大，
MN 接近于0，MQ 也接近于0
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 例如：画双曲线 x2 - y2 = 1 的草图
9 16
y
4·
·
-3
O
·
3
x
-4·
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: e >1
椭圆的简单几何性质：
性质
曲线
方程
图形
椭圆
x2 y2 1(a b 0 )
a2 b2
Y
a
F1
O F2
X
范围 对称性 顶点
离心率
a xa b yb 关于 x 轴和 y 轴对称，关于原点对称
(a ,0), (a ,0), (0,b), (0, b)
e c (0 e 1) e越大，椭圆越扁
以 0，- b,0,b 不是双曲线的顶点。 y
A A叫实轴，长为 2a 12
B B叫虚轴，长为 2b 12
b B2
实轴与虚轴等长的双曲线 叫 A1 -a o a A2 x
等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
-b B1
4、渐近线
⑴双曲线
x2 a2

y2 b2
1
(a

0, b 0) 的渐近线为
方案1：考查点到直线的距离
MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离
MN
由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可。
设M (x, y)是它上面的点,
则y = b x2 - a2 (x > a) a
y
B2
N
Q M
N (x，Y )是直线y = b x a
上与有相同横坐标的点，
A1
b A2
Oa
x
则Y = b x a
a
思考：离心率的大小对曲线形状有何影响？ 演示板
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大
用代数方法证明
b c2 a2 ( c )2 1 e2 1
a
a
a
当越大e ，越反大之时也，成ab立也。越大，所以曲线的开口
根据对双曲线性质的研究，请完成下表
标准方程
x2 y2 a2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
3、顶点 - a,0,a,0
双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
当 y 0时 ,则 x a所以 - a,0,a,0是双曲
线的两个顶点
当 x 0 时 ,则 y2 b2 于是与 y 轴无交点,所
y3x 4
y a, y a, x R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点
0,4,0,4
实轴长为8、虚轴长为6
e=5 4
y4 3
尝试练习：
求适合下列条件的双曲线的标准方程。
(1)顶点在x轴上，两顶点的距离是8，且离心率e 5
(2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率e 4
4
3
(3)双曲线的渐近线为 y x，且过点（1，2）
解： x2 y2 (1). 1 16 9
y2 x2 (2). 1
36 28
(3). y2 x2 3
的平面区域内
-a
o

a
x
2、对称性 关于x轴、y轴和原点对称.
（以焦点在 x 轴上的方程进行研 究）
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
用 y 代替 y ，方程不变，即曲线关于 x 对称。
用 x代替 x ，方程不变，即曲线关于 y 对称。
同时用 x 、 y 代替 x 、y ，方程不变，即 曲线关于 原点 对称。
B1
x2 y2 a2 - b2 =1(a > 0,b > 0)
y = b x2 - a2 = b x 1- (a)2 < b x = Y
a
a
xa
Y
b
MN Y y x x2 a2 a
ab
x2 x2 a2
O
N 线y = b 的距离，且 MQ < MN 。 a