第 11 章（之1）（总第59次）教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：**（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-221连续区域是 ．答：x y 221+>**（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000， 则（ ）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ）**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）=u y x -；解：定义域为：{}x y y x ≤),(，见图示阴影部分：（2）)1ln(),(xy y x f +=；解：{}1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）．（3）yx yx z +-=． 解：()()⎩⎨⎧-≠≥⇔⎩⎨⎧≠+≥+-⇔≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000．***3. 求出满足22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的函数()y x f ,. 解：令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x yt y x s ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t st y t s x 11∴()()()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限：()()220,0,11limyx xy y x +-+→．解：()()()()()22222222112111110yx xy y x yx xy xyyx xy ++++≤+++=+-+≤()011222→+++=xy y x （()()0,0,→y x ） ∴()()011lim220,0,=+-+→yx xy y x ．**5. 说明极限()()22220,0, lim y x y x y x +-→不存在．解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同．首先，0=x 时，极限为()()1lim 2222220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ，其次，0=y 时，极限为()()1lim 2222220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ，故极限()()22220,0,y y lim +-→x x y x 不存在．**6. 设112sin ),(-+=xy x y y x f ，试问极限),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数112sin ),(-+=xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义．***7. 试讨论函数z x yxy=+-arctan1的连续性． 解：由于arctan x yxy+-1是初等函数，所以除xy =1以外的点都连续，但在xy =1上的点处不连续．**8. 试求函数f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ的间断点．解：显然当(,)(,),x y m n m n Z =∈时，f x y (,)没定义，故不连续． 又f x y xyx y(,)sin sin =+22ππ是初等函数． 所以除点(,)m n （其中m n Z ,∈）以外处处连续．第 11 章（之2） （总第60次）教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]**1.解下列各题： （1）函数32),(y x y x f +=在)0,0(点处 （ ）（A ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都存在； （B ）)0,0(x f '和)0,0(y f '都不存在； （C ）)0,0(x f '存在，但)0,0(y f '不存在； （D ）)0,0(x f '不存在，但)0,0(y f '存在． 答：（D ）．（2） 设z x y xy=+-()arcsin2，那么∂∂z y (!,)2= （ ）(A) 0 ； (B) 1； (C) π2； (D) π4． 答：(D)．（3）设()xy y x f =,，则=)0,0('x f ______，=)0,0('y f __________．解：由于0)0,(=x f ，0)0,0('=∴x f ，同理 0)0,0('=y f ．**2. 设z x y x y e xy =-+++2322ln ， 求 z z x y ,． 解：z x x yye x xy=+++1322， z y x y xe y xy =-+++2322．**3. 求函数xyz arctan =对各自变量的偏导数. 解：2222,y x xz y x y z yx +=+-=．**4. 设f x y x x y x y x y (,)ln()=++≠+=⎧⎨⎩222222200，求f f x y (,),(,)0000．解：f x x x x x (,)limln 000022==→， f yy y (,)lim 000000=-=→．***5. 求曲线⎩⎨⎧=+-=122x y xy x z 在()1,1,1点处切线与y 轴的夹角．解：由于曲线在平面1=x 内，故由 ()()()121,11,1=+-=y x z y ，得切线与y 轴的夹角为 41arctan π=．[也可求出切向量为{}1,1,0]∴夹角={}{}422arccos12110,1,01,1,0arccos 22π==+．***6. 设函数ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，已知函数f x y x y x y (,)(,)=-ϕ在点)0,0(偏导数)0,0(x f '存在，（1）证明ϕ(,)000=； （2）证明)0,0(y f '也一定存在．解：（1）lim(,)(,)lim (,)∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x→→-=000000ϕ， 因为)0,0(x f '存在，所以 lim(,)lim (,)∆∆∆∆∆∆∆∆x x x x x x x x→+→-⋅=-⋅0000ϕϕ即 ϕϕ(,)(,)0000=-， 故 ϕ(,)000=．（2）由于ϕ(,)x y 在点)0,0(连续，且ϕ(,)000=，所以0→∆y 时，),0(y ∆ϕ是无穷小量，而yy ∆∆是有界量，所以0),0(lim )0,0(),0(lim00=∆∆∆=∆-∆→∆→∆yy y y f y f x y ϕ，即0)0,0(='y f ．第 11 章（之3） （总第61次）教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]**1. 求函数()x y z x z y x f sh ch ,,-=的全微分，并求出其在点()2ln ,1,0=P 处的梯度向量．解：()()()x y d z x d z y x df sh ch ,,-=()zdzx xdy dx x y z xdx y xdy zdz x zdx sh sh ch ch ch sh sh ch +--=--+=∴()()dx z y x df 41,,2ln ,1,0=， ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∇0,0,41,,2ln ,1,0z y x f ． **2.求函数xyyx z -+=1arctan的全微分： 解：xyyx d dz -+=1arctan)arctan (arctan y x d +=2211)(arctan )(arctan y dy x dx y d x d +++=+=**3. 设z xy xy =-sec ()ln()21，求d z ．解：222)]1[ln()]1d[ln()(sec )](d[sec )]1[ln(d ----=xy xy xy xy xy z)]d d (1)(sec )d d )(tan()(sec 2)1[ln()]1[ln(1222y x x y xy xy y x x y xy xy xy xy +--+--= )1(ln )(cos )1()d d ](1)1)(tan()1ln(2[22--+---=xy xy xy y x x y xy xy xy ．**4. 利用df f ≈∆，可推出近似公式：()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 并利用上式计算()()2203.498.2+的近似值．解：由于()()()y x df y x f y y x x f ,,,+≈∆+∆+， 设()22,y x y x f +=，03.0,02.0,4,3=∆-=∆==y x y x ，于是 ()2222,yx y y x x yx ydy xdx y x df +∆+∆=++=，()()22,,yx y y x x y x f y y x x f +∆+∆+≈∆+∆+，∴()()()()012.54303.0402.034303.498.2222222=++-++≈+．***5．已知圆扇形的中心角为60=α，半径为cm r 20=，如果α增加了1，r 减少了1cm ，试用全微分计算面积改变量的近似值． 解：180212παrS =， ))(2(3602ααπd r dr dS +=，∴ )(4533.17)3601)20(360)1(60202(22cm dS S -=⨯+-⨯⨯⨯=≈∆π．***6. 计算函数()()z y x z y x f 32ln ,,++=在点()0,2,1=P 处沿给定方向 k j i l-+=2 的方向导数Plf∂∂．解：zy x f zy x f zy x f z y x 323,322,321++=++=++=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=61,61,62l e ，∴ 65161,61,6253,52,51=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅∇=∂∂l Pe f lf．***7. 函数z xy=++arctan 11在（0，0）点处沿哪个方向的方向导数最大，并求此方向导数的值． 解：∂∂z xx y y(,)(,)0020011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅+=， ∂∂z yx y x y (,)(,)()00220011111112=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪⋅-++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-， {}{}∂∂ααααϕz l =+-=-⋅=1212121122cos ()sin ,cos ,sin cos ， 其中ϕ为{} l =cos ,sin αα与 g =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1212,的夹角，所以ϕ=0时，即l 与g 同向时，方向导数取最大值∂∂z l =22．**8. 对函数 xyze z y xf =),,( 求出 ),,(z y x f ∇ 以及 )3,2,1(f ∇.解： {}xyz xyz xyzxye xze yze f ,,=∇，{}2,3,6)3,2,1(6e f =∇．**9. 求函数z y x z y x f 1)(),,(+=在点)21,21,21(-+=e e P 处的梯度． 解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-++=∇--)ln()(,)(1,)(1211111y x z y x y x z y x z f z z z ， {}24,2,2)21,21,21(e e e e ef -=-+∇．***10. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin ),(22222222y x y x yx y x y x f 在点（0，0）处的连续性，可导性和可微性．解：因为 lim (,)lim sin(,)x y x y f x y x y x yf →→→→=++==022221000， 所以f x y (,)在点（0，0）连续．因为 lim(,)(,)lim sin ()∆∆∆∆∆∆∆x x f x f x x x x →→+-=00200001， 极限不存在，f x y (,)在（0，0）处不可导，从而在（0，0）处不可微．第 11 章（之4）（总第62次）教材内容：§11.3 复合函数微分法；§11.4 隐函数微分法**1.解下列各题：（1） 若函数),(v u f 可微，且有x x x x x f ++=3422),(及122),(22 +-='x x x x f u ，则),(2 x x f v '= ( )(A) 1222++x x(B) xx x 21322++ (C) 1222+-x x (D) 1322++x x答：(A)（2）设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy=_________． 答： 2112xyz xy-- ．（3）方程yzx z ∂∂=∂∂3，在变量代换y x u 3+=，y x v +=3下，可得新方程为_______.答：0=∂∂uz．**2. 设u x y z x r y r z r =++===222,cos sin ,sin sin ,cos θϕθϕϕ求∂∂∂∂θ∂∂ϕu r u u ,,． 解：()∂∂θϕθϕϕurx y z r =++=2222cos sin sin sin cos ，0)sin cos (2]sin )sin ([2=+-=ϕθθϕ∂θ∂r y r x u，0sin 2)cos sin (2)cos cos (2=-+=ϕϕθϕθ∂ϕ∂r z r y r x u．**3. 一直圆锥的底半径以3s cm /的速率增加，高h 以5s cm /的速率增加，试求r=15cm ，h=25cm 时其体积的增加速率． 解：h r V 231π=， s cm h r dtdVdt dhr dt dr rh dt dh h V dt dr r V dt dV /11252515313232πππ===+=⋅∂∂+⋅∂∂=*4. 设,3y e z x -=而4,sin t y t x ==，求dtdz． 解：32334cos y t t e dtdy z dt dx z dt dz xy x -=+=．**5. 若)(22y x f xy z -=，证明：z y z x y z y x x z xy 2222+=∂∂+∂∂． 解：22222,2ff xy xf z f f y x yf z y x '+='-=， 则 z y z x fy x xy yz x z xy y x 222222)(+=+=+． **6. 设 )cos ,,(2x xy ye xe f u x y =，求du yux u ,,∂∂∂∂．解：3221)2sin cos (f x xy x y f ye f e xux y -++=∂∂ ， 3221cos xf x f e f xe yux y ++=∂∂， [][]dy xf x f e f xe dx f x xy x y f ye f e du x y x y 32213221cos )2sin cos (+++-++=．**7. 求由方程y z z x ln =所确定的函数),(y x z z =的偏导数yz x z ∂∂∂∂,． 解：zx zyz y zx zFz Fx z x +=---=-=21，yz xy z z z x y Fz Fy z y +=---=-=2211．**8. 设,0),,(=+xz z y xy F 试求dz yzx z ,,∂∂∂∂． 解：,0),,(=+xz z y xy F 两边对x 求导，得 0)(321=+++x x xz z F F z yF ， 解得 3231xF F zF yF z x ++-=，两边对y 求导，得 0)1(321=+++y y xz F z F xF ． 解得3221xF F F xF z y ++-= ，所以dy xF F F xF dx xF F zF yF dz 32213231++-++-=．***9. 函数z z x y =(,)由方程F x x y z z xy (,,)+++=1所确定，其中F 具有连续一阶偏导数，F F 230+≠，求∂∂z x 和∂∂z y． 解：F x x y z F z y x x y F 1230d (d d d )(d d d )++++++=，d ()d ()d z F F yF x F xF yF F =-+++++1232323，∂∂z x F F yF F F =-+++12323， ∂∂z y F xF F F =-++2323． ***10. 求由方程z xyz a a 3330-=≠()所确定的隐函数z z x y =(,)在坐标原点处沿由向量{}a =--12,所确定的方向的方向导数．解：当x y ==00,时，z a 00=≠．0,0)0,0(2)0.0()0,0(2)0.0(=-==-=xyz xz yz xyz yz xz ∂∂∂∂，0=∂∂∴az． ***11. 设)0(,1,022≠+=+=-y x xv yu yv xu 求yv y u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,． 解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂-∂∂+00x v x x u y v xv y x u x u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=∂∂++-=∂∂⇒2222y x yu xv x v y x yv xu x u类似地 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y ux ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=∂∂+--=∂∂⇒2222y x yv xu yv y x xv yu y u第 11 章 （之5）（总第63次）教材内容：§11.5 多元函数微分法在几何上的应用**1. 曲面x y z xyz x z 2222426-+--+=在点)2,1,0(=A 处的切平面方程为 （ ） （A ）31223110()()x y z -+--+= （B ）3234x y z +-= （C ）032213=--+-+z y x （D ）x y z 31223=-=-- 答：(A)．**2.设函数F x y z (,,)可微，曲面F x y z (,,)=0过点)0,1,2(-=M ，且F F F x y z (,,),(,,),(,,)210521022103-=-=--=-.过点M 作曲面的一个法向量，已知与x 轴正向的夹角为钝角，则与z 轴正向的夹角γ=______ ． 答：π3．***3. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点)1,4,2(-=P 到S 的距离d =______ ．答：2．**4. 求曲线ct z t b y t a x L ===,sin ,cos :在点)2,0,(0c a M π=处的切线和法平面方程． 解：,0sin 00=-===t t t a dt dx,cos 00b t b dt dy t t =-=== cdtdzt ==0．∴切线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-==⇔-=-=-c c z by ax c c z b y a x ππ2200，法平面方程为：0)2(=-+c z c by π．***5. 求曲线6,11:==++xyz zx yz xy L 在点)3,2,1(0=M 处的切线和法平面方程．解：设 11),,(-++=zx yz xy z y x F ，6),,(-=xyz z y x G ，)()()(),(),(2x y z z x yz z y xz xz yz z x zy y x G F +-=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2z y x y x xz z x xy xy zx x y z x z y G F -=+-+=++=∂∂，)()()(),(),(2x z y z y xy y x zy zyxy z y y x x z G F -=+-+=++=∂∂．∴8),(),(,1),(),(,9),(),(0=∂∂-=∂∂-=∂∂M M M x z G F z y G F y x G F ，∴切线方程为938211--=-=--z y x ， 法平面方程为 ()()()()()0948211=--+-+--z y x ，即 01298=-+-z y x ．***6. 求曲面4416222x y z ++=在点1,22,1(-=P )处的法线在yOz 平面上投影方程．解：曲面在点1,22,1(-=P ）处的法线方向向量{}{}2,2,248,24,8-=-=→n ，法线方程为：x y z -=-=+-1222212．法线在yOz 平面上投影方程为212220-+=-=z y x ．***7.求曲线x t y t z t ===3223,,上的点，使曲线在该点处的切线平行于平面x y z +-=21．解：设所求的点对应于t t =0，则对应的切线方向向量为： {}3,4,3020t t s =→．因为→s 垂直于平面法向量{}1,2,1-=→n ，所以0383020=-+=⋅→→t t n s ， 解得：t 013=和t 03=-．所求点为：127291,,⎛⎝ ⎫⎭⎪和(,,)--27189．**8．求曲面xyz 6=上平行于平面.06236=+--z y x 的切平面方程． 解：26,6xyy z xyx z -=∂∂-=∂∂， ∴由条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=--=-=-32121366622z y x k k x y k yx∴切平面方程为：,0)3(2)2(3)1(6=+-+--z y x 即 018236=---z y x ．***9.求函数22y x ez +=在点),(000y x M =沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数．解：等值线方程为x y x y 220202+=+, 在),(000y x M =处的法线斜率为 00x y k =，即法线方向向量为 },1{00x y n =或},{00y x ， 方向余弦为：cos cos αβ=+=+x x yy x y002200202,∂∂zn e x x x y e y y x y x y x y =⋅⋅++⋅⋅+++0202020222000202000202=⋅++202020202e x y x y ．***10. 求函数z y x =+sin 在⎪⎭⎫⎝⎛=1,2πP 点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线x t y t ==22sin ,cos π在t =π6处的切向量（指向t 增大的方向）． 解：tan d d sin cos αππππ==-=-==y xt tt t 66222，1sin 11cos 22+-=+=ππαπα，，221sin 210sin 2cos 1,21,21,21,2=+==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ∂∂∂∂xy yz xy x xz ，，所以 ∂∂πππz a =⨯++⨯-+011122122()()1222+-=ππ．***11. 设f y z g z (,),()都是可微函数，求曲线x f y z y g z ==⎧⎨⎩(,)()在对应于z z =0点处的切线方程和法平面方程．解：z z =0对应点()f g z z g z z [(),],(),0000， 对应的切线方向向量：{}f g z z g z f g z z g z y z ='+'[(),]()[(),],(),0000001．切线方程：x f g z z f g z z g z f g z z y g z g z z z y z -'+=-'=-[(),][(),]()[(),]()()0000000000，法平面方程： {}{}f g z z g z f g z z x f g z z y z [(),]()[(),][(),]0000000'+-+'-+-=g z y g z z z ()[()]()0000．****12. 在函数yx u 11+=的等值线中哪些曲线与椭圆16822=+y x 相切？ 解：对等值线 y x u 110+= 两边微分得 022=--ydy x dx ， 即 22x y dx dy -=， 同样对16822=+y x 两边微分，有yx dx dy 8-=， 令y xxy 822-=-，得 y x 2=，代入16822=+y x ，得 32,34±=±=y x ，∴ 433110±=+=y x u ．***13. 试证明曲面3a xyz =上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之积为定值．解：由3a xyz =， 得 xya z 3=，∴在点),,(000z y x 处法向量为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-1,,02030203x y a y x a， ∴切平面为：0)()(0020300203=-+-+-z z y y y x a x x y x a ，又 ∵3000a z y x =， ∴ 切平面方程化为：1333000=++z zy y x x ， ∴ 截距之积为： 30002727a z y x =（定值）．***14. 证明曲面0,=⎪⎭⎫⎝⎛----c z b y c z a x F 的所有切平面都通过一个定点，这里F u v (,)具有一阶连续偏导数．解：曲面上点(,,)x y z 000处的切平面法向量：[]F z c F z c z c x a F y b F =-----+-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10200201021,,()()() []{}=-----+-10201020102()(),(),()()z c z c F z c F x a F y b F ．切平面方程为： ()()()()z c F x x z c F y y 010020--+--[]0)()()(02010=--+--z z F b y F a x ．易知x a y b z c ===,,满足上述方程，即曲面的所有切平面都通过定点(,,)a b c ．第 11 章 （之6）（总第64次）教学内容：§11.6泰勒展开1．填空：*（1）设u xy yx=+，则∂∂22u x =________ ．答：32xy． *（2）设u x xy =ln ，则∂∂∂2ux y= _________．答：y1． *（3）设u x y y x =+22sin cos ，则∂∂∂2ux y= _________ ．答： x y y x sin 2cos 2-．*（4）设u x yxy=+-arctan 1，则∂∂∂2u x y =_______ ．答：0 ．**（5）设z e y e y xx=+-sin cos ，则∂∂∂∂2222z x zy+= _________．答：0．**2．设z f x u =(,)具有连续的二阶偏导数，而u xy =，求∂∂22zx．解:z f yf x x u =+， z f yf y f xx xx xu uu =++22．**3．设z x xy =ln()，求∂∂∂32zx y．解一： z x yy =， z yyx =1， z yx 20=．解二： z xy x =+ln()1， z xx 21=， z yx 20=．**4．设)2,21(),()(4322xy z y x xf xy f y z 求+=． 解：)(3)()('43434324y x f y x y x f xy f y z x ++=，,4)("3)('124)('2)(")('4334343433333432423yx y x f y x y x f y x x y y x f yx xy f y xy f y z xy ⋅++⋅+⋅+=∴)2("24)2('12)2('4)2("32)2('32)2,21(f f f f f z xy ++++= )2("56)2('48f f +=．**5．函数y y x =()由方程x xy y 2221+-=所确定，求22d d x y．解：xy yx y x y x x y -+=-+-=2222d d ，222)())(1())(1(d d x y y x y x y y x y -+-'--'+=322)()2(2x y y xy x --+-=3)(2y x -=. ***6．求方程 zy ez x +=+ 所确定的函数),(y x z z =z=z(x,y)的所有的二阶偏导数.解：xz e x z z y ∂∂⋅=∂∂++1， ∴ 11-=∂∂+zy e x z ． 3222)1()1(--=-∂∂⋅-=∂∂++++z y zy zy z y e e ex ze x z， 因为 )1(y z e y z zy ∂∂+=∂∂+， ∴zy z y z y e e e y z +++-+-=-=∂∂1111． 则 3222)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze y z ++++-=-+∂∂=∂∂， 322)1()1()1(z y z y z y z y e e e yze yx z ++++--=-+∂∂-=∂∂∂， 322)1()1(-=-∂∂=∂∂∂++++z y z y z y zy e e e x ze x y z ．***7．对于由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z =，试求 22x z ∂∂．解：由公式zx F F x z -=∂∂两边对x 求偏导数，得。