人教版高一数学《旋转体》导学案班级：姓名: 使用日期：
【课堂探究】
一.【素养培育】
知识点一圆柱、圆锥、圆台
(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为 .
(2)以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为 .
(3)以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为 .
思考1:类比棱台,圆台可以看成用平面截圆锥得到的几何体吗?
知识点二旋转体
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体.其中,旋转轴称为旋转体的轴.在轴上的或它的 )称为旋转体的高.垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的 ,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为母线.在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常称为 .
思考2:圆柱、圆锥、圆台的轴截面都有什么几何特征?
目录11.1.5学案序号
课题旋转体课型新授课课时第 2 课时编写人审核人学科联系人签字
学法指导
1.仔细阅读课本，课前自主完成导学案；
2.限时独立完成，书写规范；课上合作探究，答疑解惑.
课标要求
1.认识圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征,能运用这些特征描述
现实生活中简单物体的结构.
2.知道球的表面积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
素养达成
通过学习圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征和表面积的公式,并
且能在现实生活中运用,体现了直观想象、数学运算等核心素养.
知识点三球
(1)一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面.球面围成的几何体称为球.形成球面的半圆的圆心称为球的球心.连接球面上一点和球心的线段称为球
的 .连接球面上两点且通过球心的线段称为球的 .
球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的 .
(2)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面(圆及其内部).球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆.被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
(3)若半径为R的球的一个截面圆半径为r,球心与截面圆的圆心的距离为d,则有
d=22
,如图.
R r
(4)如图,把地球看成一个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆,赤道是一个大圆.其余的纬线都是小圆.经度(取值区间为[0°,180°]),纬度(取值区间:[0°,90°]). 知识点四球的结构特征
(1)过球心的截面都是全等的大圆面.
(2)球心与截面所截得的圆的圆心的连线垂直于截面.
(3)球外接于长方体,长方体的顶点均在球面上,长方体的体对角线长等于球的直径.
二.【素养提升】
题型一圆柱、圆锥、圆台等简单旋转体的结构特征
[例1] 下列说法中不正确的是( )
(A)过圆柱的两条母线的截面是一个矩形
(B)圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
(C)直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
(D)圆台平行于底面的截面是圆面
[例2] 直角梯形分别以AB,BC所在直线为轴旋转,试说明所得几何体的形状.
方法技巧：
即时训练1-1:(1)下列几何体是旋转体的是(只填序号).
(2)下列命题正确的是.(填序号)
①以直角梯形的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球;
⑤用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
题型二和圆柱、圆锥、圆台有关的计算问题
[例3]已知圆台的一个底面的周长是另一个底面的周长的3倍,轴截面的面积为392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和两底面的半径.
方法技巧：
即时训练2-1:(1)已知一个圆柱的轴截面是一个面积为Q的正方形,则此圆柱的底面半径R= .
(2)如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台的上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
题型三圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
[例4](1)已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的表面积为;
(2)圆台的上、下底面半径分别为 10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么圆台的表面积是.(结果保留π)
方法技巧：
即时训练3-1:(1)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )
(A)8π(B)6π(C)4π(D)2π
(2)已知某圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么该圆柱的侧面积是( )
(A)4πS (B)2πS (C)πS 23πS
题型四球的结构特征
[例5] (1)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
(A)3πa2(B)6πa2(C)12πa2(D)24πa2
(2)有下列说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段;
②球的直径是球面上任意两点间的连线段;
③用一个平面截一个球,得到的是一个圆;
④不过球心的截面截得的圆面的半径小于球的半径.
其中正确说法的序号是.
方法技巧：
即时训练4-1:在球心同侧有相距9c m的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm2和400π cm2,求这个球的半径.
【课堂评价】
三、【课堂小结】
1、本节课学了哪些知识内容？
2、本节课用了哪些方法思想？
四、【课堂达标】
1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)用平面去截圆柱,无论怎么截,截面都是圆.( )
(2)圆柱的任意两条母线平行,圆锥的任意两条母线相交,圆台的任意两条母线延长后相交.( )
(3)圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形.( )
(4)球的半径扩大为原来的两倍,则表面积变为原来的8倍.( )
(5)圆台的上、下底面上各选一点作为端点的线段一定是圆台的母线.( )
2.半径为3的球的表面积是( )
(A)9π(B)81π (C)27π (D)36π
3.球的表面积为4π,则此球的直径为( )
(A)2 (B)16 (C)8 (D)4
4.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是一个圆面,这个几何体可能是( )
(A)圆锥 (B)圆柱 (C)球体 (D)以上都可能
5.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径
是.
6.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°所形成的几何体是( )
(A)圆柱 (B)圆锥 (C)圆台(D)圆柱的一部分
7.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( )
(A)①③ (B)②④ (C)①②③(D)②③④
8.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
9.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
(A)122π(B)12π (C)82π(D)10π
10.已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,则圆锥的侧面积为.
11.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为.
12.上、下底面的面积分别为36π和49π,且母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为.
13.设地球球心为O,半径为R,在北纬45°圈上有A,B两地,它们在纬度圈上的弧长等于
πR.则∠AOB的大小为.
14.以两条直角边分别为3 cm和4 cm的直角三角形的直角边所在直线为轴旋转而形成的圆锥,其底面积为 cm2,母线长为 cm.
15.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.
16.已知圆台的两底面面积分别为4π,9π,求过圆台高的中点且平行于底面的截面(即圆台的中截面)的面积.
17.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求:
(1)圆台的高;
(2)将圆台还原为圆锥后,圆锥的母线长.。