证明：Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证： (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n，
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1，α 2， α n − r , 扩充成 V 的基α 1， , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }， 结合 Im T ⊕ ker T = V， 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1， , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
（是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标） 注：求T 的特征值、特征向量时，可以先求其矩阵的特 征值、特征向量；T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知， 存在β ∈V，使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T，T (α ) = O ∈ Ker T
4
∃α ∈V 使T (α ) = β
{
}
定义： 是数域F上线性空间V 的线性变换，若存在V 设T 的非零向量α和数 λ ∈ F 使得T (α ) = λα , 则称 例： T (α1 ) = 3α 1， T (α 3 ) = 2α 3，T (α 6 ) = 5α 6 .
Tα ← T 2α n − r +1 ,
7
(
, T 2α n ⊂ Im T
2
)
因此，T α ∈ Im T , 即 Im T ⊃ Im T .
2
例： 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换，且满足
T 2 = 3T . 证明： Im T ⊕ KerT = V .
证：设 α ∈ Im T ∩ ker T ,
T (α 6 ) = α 6 J 3 . 令 V1 = 〈α 1 , α 2 〉 , V2 = 〈α 3 , α 4 , α 5 〉 , V3 = 〈α 6 〉 .
则 (1) 由子空间是直和的等价命题有 V = V1 ⊕ V2 ⊕ V3 (2) TV1 ⊆ V1 , TV2 ⊆ V2 , TV3 ⊆ V3 . 定义：设T 是线性空间V 的线性变换，W是V的子空间， 如 ∀α ∈ W 有 T (α ) ∈ W , 则称W是V的 T－不变子空间.
⇔ Ax0 = λ x0 , 其中α = (α1 , α 2 , , α n ) x0 证明： T (α ) = T (α 1 , α 2 , , α n ) x0 = (α 1 , α 2 , , α n ) Ax0 λα = λ (α1 , α 2 , , α n ) x0 = (α 1 , α 2 , , α n ) λ x0 ∴T (α ) = λα ⇔ (α1 , α 2 , , α n ) Ax0 = (α1 , α 2 , , α n ) λ x0 ⇔ Ax0 = λ x0 ,
T (α 1 , α 2 ,
2
⎧ T (α 3 ) = 2α 3 ⎧T (α1 ) = 3α 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ T (α 4 ) = α 3 + 2α 4 T (α 6 ) = 5α 6 . ⎪ T (α 2 ) = α1 + 3α 2 , ⎪ ⎩ ⎩T (α 5 ) = α 4 + 2α 5 ,
,α n
这节我们要讨论的是若当块 J i 与基 α1 , α 2 ,
例： V为复线性空间，dim V = 6, T 为V 的线性变换，
α1 , α 2 ,
, α 6 为V 的基，
⎡3 1 ⎤ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 1 ⎢ ⎥ , α 6 ) = (α 1 , α 2 , , α 6 ) ⎢ 2 1 ⎥, ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 5⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎡ J1 ⎤ ⎣ ⎦ ⎥ J =⎢ J2 ⎢ ⎥ ⎢ J3 ⎥ ⎣ ⎦
3
T ( α 1 , α 2 ) = (α 1 , α 2 ) J 1 , T ( α 3 , α 4 , α 5 ) = (α 3 , α 4 , α 5 ) J 2 ,
注：(1) V1 ,V2 ,V3 均为 V 的T－不变子空间； (2) 如果T在V的某个基下的矩阵是Jordan标准形， 那么V 就可表示为若干个T 一不变子空间的直和； (3) TV ⊆ V , TO ⊆ O , 所以V本身及零子空间都是T－不变子空间， 例：设T 是线性空间V 的线性变换，则像空间ImT与核 空间KerT都是T－不变子空间. 证明： ∀β ∈ Im T = β ∈ V ∃α ∈ V 使T (α ) = β , (1)
Je1
5
定理： 是数域F上线性空间V 的线性变换， 1 , α 2 , , α n , α 设T 是V的一个基，且 T (α1 , α 2 , , α n ) = (α 1 , α 2 , , α n ) A, 则 O ≠ α ∈V , T (α ) = λα ,
λ 为Τ 的特征值，α 为Τ 的属于特征值λ的特征向量.
3,2,5 为Τ 的特征值，α1, α3, α6 为Τ 的属于特征值 3,2,5 的特征向量，α1, α3, α6 在V 的基α1, α2, α3 , α4, α5, α6 的坐标分别为e1, e3, e6 . 而若当矩阵J 的特征值为3, 2, 5, J 的对应的特征向量恰好是e1, e3, e6 . 即
§3.7 不变子空间
设T 是复线性空间V 的线性变换，由前面讲过的 知识，必存在V的一个基 α1 , α 2 , , α n , 使
T (α 1 , α 2 ,
, α n ) = (α 1 , α 2 ,
, α n ) J , 其中
⎡ J1 ⎢ J =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
的联系.
1
J2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Js ⎥ ⎦
Im T ⊕ ker T = V .