n
2n 2 2 2 2 2 4 证: 0 , n! 1 2 3 n 1 n n 4 只需 n . n 2 4 0, 取N ,当n N时, 有 0 . n! n 2 lim 0. n n!
单调数列
数列极限的定义
引例:
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
问题: 当 n 无限增大时, an 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
(1) 当 n 无限增大时, an 1 n
n 1
无限接近于 1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
2.2.2
函数极限的定义
一、自变量趋于常数时函数的极限
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接 近于某一确定的常数 A ，那么这个确定的常数 A 就叫做在这一 变化过程中函数f(x)的极限．当x x0时，f(x)以 A为极限记为
x x0
lim f (x)A或f (x) A(当x x0)．
1，1，1，… ，(1)n1，… ； 一般项为(1)n+1
数列的几何意义：
数列{an}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 a1，a2，a3，… ，an ，…． a1 O 数列与函数： 数列{an}可以看作自变量为正整数 n 的函数： a8 a7 an a4 a6 a3 a5 a2 x
2．2
2.2.1 2.2.2
极
限
数列极限 函数极限的定义
2.2.3
2.2.4 2.2.5
函数极限的性质
无穷小和无穷大 极限的运算
2.2.6 无穷小的比较
2.2.1 数列极限
数列：
如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的 数an ，则得到一列有次序的数
a1，a2，a3，… ，an ，…
lim a2 k 1 lim a2 k L
k k
则{an } 收敛, 且 lim an L
n
定理2 (收敛必有界性)
如果数列{an}收敛，那么数列{an}一定有界．
证明：设数列{an}收敛，且收敛于L．根据数列极限的定
义，对于ε =1 ，存在正整数N，使对于n>N时的一切 an，
则称数列{an}是有界的；M称为数列的界; 如果这样的正数M
不存在，就说数列{an}是无界的．
{(1) }有界. M 1
数列的单调性：
n1
M 1?
n {n sin } 无界 2
如果数列an满足条件 a1 a2 an an1 , 单调增加
a1 a2 an an1 , 单调减少
n
q 1 时, 数列发散.
思考： q 1?
子数列：
an1，an2， ，ank， 称为原数列{an}的子数列．记为 {ank }
的先后次序，这样得到的一个数列
在数列{an}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中
例如，数列 {an} ： 1，-1，1，-1，…， (-1)n+1，…
例 4 设|q |<1，证明等比数列 1，q ，q2，… ，qn-1，… 的极限是0．
证明： 如果 q = 0 , 则 qn-1 = 0， 即 设 0 q 1, 因为
lim q n 1 0
n
| an 0 || q n 1 0 || q |n 1
对 1, 有 an 0 恒成立，即N可取任意整数
x2 1 y x 1
x
0 .9
f ( x)
1 .9 1.99
1.999
x
1 .1 1.01
f ( x)
2 .1 2.01
2
0.99
0.999
1.001 2.001 1.0001 2.0001
1.00001 2.00001
0.9999 1.9999
0.99999 1.99999
这一过程表示为：
x 1 时，y 2
这一列有次序的数就叫做数列，记为{an}，其中第n 项an 叫做数 列的一般项． (亦可用{xn} {yn}等表示数列)
1 1 1 1 1 ， ， ，„ ， n ，„ ； 一般项为 2n 2 4 8 2 1 4 n (-1) n 1 n (-1)n1 2， ， ，„ ， ，„ ． 一般项为 2 3 n n
给定 0, 只要 n N ( [1])时,
有 an 1 成立.
极限的精确定义：
如果数列{an}与常数L 有下列关系：对于任意给定的 正数 ε ( 不论它多么小 ) ，总存在正整数 N ，使得对于 n > N 时的
一切an，不等式
|an-L |< ε 都成立，则称常数L是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛
{ }
定理1 如果数列{an}收敛于L ，那么它的任一子数列也收敛， 且极限也是L．(收敛数列与子极限的关系定理)
证:
若
设数列
是数列
的任一子数列 . 时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
*********************
即： lim f ( x ) 2
x 1
1
函数极限的定义：
设函数f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义．如果对于任意 给定的正数 (不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等
式0<|xx0|<d的一切x ，对应的函数值f (x)都满足不等式
|f (x)A|< ， 那么常数A就叫做函数f (x)当x x0时的极限，记为
不等式 都成立．于是，当n>N时， | an- L |< =1
| an |=| ( an- L ) + L| | an- L |+| L|<1+| L|．
取M=max{| a1 |， | a2 |， …, | aN |， 1+| L |}， 那么数列{an}中的 一切 an都满足不等式 | an | M． 这就证明了数列{an}是有界的． 收敛必有界，有界未必收敛
于L ，记为
lim an L,
n
或
an L (n )．
如果数列没有极限，就说数列是发散的．
当 n > N 时, 总有
数列极限的几何意义：
当 n > N 时, 总有
从几何上说，就是任意给定L的ε邻域 (L- ε, L+ ε)，总存在正整数N , 使得 当n >N 时，所有的点an都落在区间(L- ε, L+ ε)内,而只有有限项 (至多只有N项)在区间(L- ε, L+ ε)以外. a1 O aN
的一子数列为{a2n}：-1，-1，-1，…，(-1)2n+1， …．
注 (1)子列的下标 n1，n2， ，nk， 依从小到大的次序 排列 ;
(2)一般项 ank 是子列 ank 中的第 k 项，而 ank 在原 数列 { an } 中却是第 nk 项，显然，nk k . a8， ， 例如： a3，a7，
an 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 an 1 100 100 n 100
1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 an 1 , 1000
1 有 an 1 , 10000
1 给定 , 只要 n 10000 时, 10000
(1) n 例 2 已知 xn ，证明数列{xn}的极限是 0． 2 (n 1)
证明：因为
xn 0
对 1, 有 xn 0 恒成立，即N可取任意整令 N 1 , 1
1 1 1 xn 0 , 只要 , 即 n 2 ( n 1)
an=f (n)，
它的定义域是全体正整数． a = f (1) 1 a a = f = ( f n (2) ) a = f (5) (3) n 2 ．．．．． . a = f (6) (4) 5 3 6 4
数列的有界性： 不等式
我们感兴趣的是: 动点的移动趋势
对于数列{an}，如果存在着正数M，使得对一切an都满足 |an|M，
aN
N
从而有 a n L , 由此证明 k
lim a n k L .
k
说明: 常用逆反命题: 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 ,则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
lim a 2 k 1
k
推论
数列{an}收敛于L 的充分必要条件是它的任一子数列收敛于L．
定理 若{an }的子序列{a2k 1} 和{a2k }收敛, 且
L an L (n N )
( L-
aN + 1
aN + 4 aN + 5 aN + 3 aN + 2 L
) L+
a2 x
用定义证明极限举例
例 1 证明数列 1 4 n (-1)n 1 2， ， ，„ ， ，„ 2 3 n 的极限是 1．
分析：
( 1) n1 (1) n1 n (1) n1 1 n n 1 . | an 1 | n n n n 1 | a 1 | , 对于任意给定的正数>0， 要使 n n 1 1 只需 n , 故取 N . 1 1 n N n . 注意，当 时， 有
用定义证明极限举例
例 1 证明数列 1 4 n (-1)n 1 2， ， ，„ ， ，„ 2 3 n 的极限是 1．