三角形全等之动点问题（讲义）
➢课前预习
已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B
运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点
同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间
为t秒，请解答下列问题：
（1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）；
（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______．
➢知识点睛
由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题．
动点问题的解决方法：
1.研究_____________；
2.分析_____________，分段；
3.表达_____________，建等式．
➢精讲精练
1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且
AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC
A E D
向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒．
（1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由；
（2）当t为何值时，△DCP≌△CDE．
B
C
P
A E D
B
C
2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动
点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ．
Q P D
C
B A D
C
B A
3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点．点
P在线段BC上以每秒3 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA 上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△
BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
4.已知：如图，正方形ABCD的边长为10 cm，点E在边AB上，且AE=4 cm，
点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
5. 已知：如图，在长方形ABCD 中，AB =DC =4，AD =BC =5．延长BC 到E ，使
CE =2，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC -CD -DA 向终点A 运动，设点P 运动时间为t 秒． （1）请用含t 的式子表达△ABP 的面积S ．
（2）是否存在某个t 值，使得△DCP 和△DCE 全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．
E
D
C B A
6.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=3 cm，AD=BC=5 cm，动点P从
点B出发，以每秒1 cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，
以每秒2 cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P，Q同时出发，当点P停
止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒．请回
答下列问题：Array（1）请用含t的式子表达△CPQ的面积S，并直接写出t的
取值范围．
（2）是否存在某个t值，使得△ABP和△CDQ全等？若存在，
请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
A
D
C
B
【参考答案】 ➢ 课前预习 （1）2t ，t （2）4s ➢ 知识点睛
速度已知
1．研究背景图形，标注； 2．分析运动过程，分段； 3．表达线段长，建等式．
➢ 精讲精练
1. 解：（1）当t =1.5时，△ABP ≌△CDE ．
理由如下：
如图，由题意得BP =2t ∴当t =1.5时，BP =3 ∵AE =7，AD =10 ∴DE =3 ∴BP =DE 在矩形ABCD 中 AB =CD ，∠B =∠CDE 在△ABP 和△CDE 中
AB CD
B CDE BP DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△CDE （SAS ） （2）如图，由题意得BP =2t ∵BC =10 ∴CP =10-2t
若使△DCP ≌△CDE ，则需CP =DE
即10-2t =3，t =7
2
∴当t =7
2
时，△DCP ≌△CDE ．
2. 解：如图，由题意得AP =x ，CQ =2x
∵AD =12 ∴DP =12-x
要使△PDQ ≌△CQD ，则需DP =QC
即12-x =2x ，x =4
∴当x =4时，△PDQ ≌△CQD ．
3. 解：如图，由题意得BP =3t
∵BC =8 ∴PC =8-3t
∵AB =10，D 为AB 中点
∴BD =1
2
AB =5
①要使△BDP ≌△CPQ ， 则需BD =CP ，BP =CQ 即5=8-3t ，t =1 ∴CQ =3t =3
则Q 的速度为Q v =s t =31
=3（cm/s ）
即当t =1，Q 的速度为每秒3cm 时，△BDP ≌△CPQ ． ②要使△BDP ≌△CQP ，则需BP =CP ，BD =CQ 即3t =8-3t ，CQ =5
∴t =43
则Q 的速度为Q v =s t =5×34=15
4
（cm/s ）
即当t =43，Q 的速度为每秒15
4
cm 时，△BDP ≌△CQP ．
综上所述，当t =1，Q 的速度为每秒3cm 或t =4
3
，Q 的速度
为每秒15
4
cm 时，△BPD 与△CQP 全等．
4. 解：如图，由题意得BP =2t
∵正方形ABCD 的边长为10cm ∴AB =BC =10 ∴PC =10-2t ∵AE =4
∴BE =10-4 =6
①要使△BEP ≌△CPQ ， 则需EB =PC ，BP =CQ 即6=10-2t ，CQ =2t ∴t =2，CQ =4
则点Q 的速度为Q v =s t =4
2
=2（cm/s ）
即当t =2，Q 的速度为每秒2cm 时，△BEP ≌△CPQ ． ②要使△BEP ≌△CQP ， 则需BP =CP ，BE =CQ 即2t =10-2t ，CQ =6
∴t =52
则点Q 的速度为Q v =s t
=6×25=12
5（cm/s ）
即当t =5
2
，Q 的速度为每秒125cm 时，△BEP ≌△CQP ．
综上所述，当t =2，Q 的速度为每秒2cm 或t =5
2
，Q 的速度
为每秒12
5
cm 时，△BEP 与△CQP 全等．
5. 解：（1）①当P 在BC 上时，
如图，由题意得BP =2t （0<t ≤2.5）
1
21
4224ABP S AB BP
t t ∆=⋅=⨯⨯=∴
②当P 在CD 上时，（2.5<t ≤4.5）
1
21
45210
ABP S AB BC
∆=⋅=⨯⨯=∴ ③当P 在AD 上时，由题意得AP =14-2t （4.5<t <7）
1
21
41422
284ABP S AB AP
t t ∆=⋅=⨯⨯=∴--（）
（2）①当P 在BC 上时， 如图，由题意得BP =2t
要使△DCP ≌△DCE ，则需CP =CE ∵CE =2 ∴5-2t =2，t =1.5
即当t =1.5时，△DCP ≌△DCE
②当P 在CD 上时，不存在t 使△DCP 和△DCE 全等 ③当P 在AD 上时，由题意得BC +CD +DP =2t ∵BC =5，CD =4， ∴DP =2t -9
要使△DCP ≌△CDE ，则需DP =CE 即2t -9=2，t =5.5
即当t =5.5时，△DCP ≌△CDE ．
综上所述，当t =1.5或t =5.5时，△DCP 和△DCE 全等．
6. 解：（1）①当Q 在CD 上时，
如图，由题意得CQ =2t ，BP=t ∴CP=5-t （0<t ≤1.5）
2
1
21
(5)22 5CPQ S CP CQ
t t t t ∆=⋅=-⋅=-∴
②当Q 在DA 上时，（1.5<t ≤4）
1
21
(5)32
7.5 1.5CPQ S CP CD
t t
∆=⋅=⨯=∴-- ③当Q 在AB 上时，由题意得BQ =11-2t （4<t <5）
21
21
(5)(112)2
215522
CPQ S CP BQ
t t t t ∆=⋅=-⨯-=-+
∴ （2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等 ②当Q 在AD 上时， 如图，由题意得DQ =2t -3
要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP =DQ ∵DQ =2t -3，BP =t ∴t =2t -3，t =3
即当t =3时，△ABP ≌△CDQ ．
③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等
综上所述，当t=3时，△ABP和△CDQ全等．
11。