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八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

③作AB的垂直平分线,交x轴于点C4,得到以C为顶点的等腰△C4AB
∴符合条件的点C共7个
故选C
13.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAE=30°,则∠DEC等于( )
A.7.5°B.10°C.15°D.18°
【答案】C
【解析】
根据等腰三角形性质求出∠C=∠B,根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°,根据AE=AD,可得∠AED=∠ADE=∠C+α,得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α,求出α=15°,
∴OF=DF+OD=14+4=18.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质定理,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
10.如图, 为 内一点, 平分 , , ,若 , ,则 的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD交AC边于点E,根据BD⊥CD,CD平分∠ACB,得到三角形全等,由此求出AE 的长,再根据 ,求出BE 的长即可求得BD.
【详解】
如图所示,作DM垂直于OA于M,作PN垂直于OB于点N.
∵∠AOB=30°,∠DMO=90°,PD=DO=14,
∴DM=7,∠NPO=60°,∠DPO=30°,
∴∠NPD=∠DPO=30°,
∵DP=DP,∠PND=∠PMD=90°,
∴△PND≌△PMD,
∴ND=7,
∵EF=6,
∴DF=ND-NF=7-3=4,
即得到∠DEC=α=15°,
故选C.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形的外角性质等知识点的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力,本题有一点难度,但题型不错.
14.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于G.则下列结论中错误的是( )
A.4B.6C.7D.8
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解:如图,①以A为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点B,C1,C2,C5,得到以A为顶点的等腰△ABC1,△ABC2,△ABC5;
②以B为圆心,AB为半径画圆,交坐标轴于点A,C3,C6,C7,得到以B为顶点的等腰△BAC3,△BAC6,△BAC7;
【答案】
【解析】
【分析】
根据点E、F在边AB、AC上,可知当点E与点B重合时,CP有最小值,当点F与点C重合时CP有最大值,根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】
如图,当点E与点B重合时,CP的值最小,
此时BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,
如图,当点F与点C重合时,CP的值最大,
二、八年级数学轴对称三角形选择题(难)
11.已知:如图,点D,E分别在△ABC的边AC和BC上,AE与BD相交于点F,给出下面四个条件:①∠1=∠2;②AD=BE;③AF=BF;④DF=EF,从这四个条件中选取两个,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.①②B.①④C.②③D.③④
【答案】C
【解析】
5.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长_________.
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明 ≅ ,再证明 ≅ ,求出 ,然后求出 ,,通过设 求出x,即可求出AF的长.
【详解】
解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J
【详解】
如图:作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA、OB的交点时,△PMN的周长最短,连接P1O、P2O,
∵PP1关于OA对称,
∴∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P1M=PM,∠OP1M=∠OPM=50°
同理,∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可.
【详解】
选取①②:
在 和 中
选取①④:
在 和 中
选取③④:
在 和 中
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用,关键是熟练地运用定理进行推理,是一道开放性的题目,能培养学生分析问题的能力.
12.平面直角坐标系中,已知A(2,0),B(0,2)若在坐标轴上取C点,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()
【解析】
解:连接BD,在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论:
①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;
②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP最小,最小值为 ;
③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;
∵∠QAP=∠BAP,
∴∠QPA=∠BAP,
∴QP∥AR,
∴②正确;
③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,
不满足三角形全等的条件,故③④错误;
故答案为:①②.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用,熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.
8.如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,…若∠A=70°,则锐角∠An的度数为______.
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.
【答案】
A.AD=BEB.BE⊥AC
C.△CFG为等边三角形D.FG∥BC
【答案】B
【解析】
试题解析: 和 均为等边三角形,
在 与 中,
,正确.
.据已知不能推出 是 中点,即 和 不垂直,所以 错误,故本选项符合题意.
是等边三角形,理由如下:
在 和 中,
又∵∠ACG=60°
是等边三角形,正确.
是等边三角形,
在 和 中
∴ ≅

∴ (8字形)

在 和 中
∴ ≅


在 和 中



3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等,得出相关的边相等,学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
6.如图,在 中, ,按以下步骤作图:分别以点 和点 为圆心,大于 一半长为半径作画弧,两弧相交于点 和点 ,过点 作直线交 于点 ,连接 ,若 , ,则 的周长为_____________________.
7.如图,在△ 中, , 分别是 , 上的点, ⊥ , ⊥ ,垂足分别是 , ,若 , ,那么下面四个结论:① ;② // ;③△ ≌△ ;④ ,其中一定正确的是(填写编号)_____________.
【答案】①,②
【解析】
【分析】
连接AP,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明 .
【详解】
解:连接AP
①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,
∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,
∴∠SAP=∠RAP,
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,
∵AP=AP,PR=PS,
∴AR=AS,
∴①正确;
②∵AQ=QP,
∴∠QAP=∠QPA,
【详解】
延长BD交AC于点E,
∵BD⊥CD,
∴∠BDC=∠EDC=900,
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5,
∴AE=AC-CE=8-5=3,
∵ ,
∴BE=AE=3,
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质,延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.
此时CP=AC,
Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,根据勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值为5,
所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5,
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】
本题考查了折叠问题,能根据点E、F分别在线段AB、AC上,点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大(小)值是解题的关键.
4.如图,P为∠AOB内一定点,M,N分别是射线OA,OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB=___________.
【答案】40°
【解析】
【分析】
作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP1M=∠OPM=50°,OP1=OP2=OP,根据等腰三角形的性质即可求解.
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