二次函数的图像与系数的关系1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2＞4ac.其中正确的结论的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ）A. a ＞0，b ＜0，c ＞0B. b 2﹣4ac ＜0C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）A. 2a+b=0B. ac>0C.D.4．已知函数y=mx 2－6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ）A. 9B. 0C. 9或0D. 9或15．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <，0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）．A. ①②③B. ②③④C. ③④⑤D. ①③④6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（）A. B. C. D.7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＜3b；③25a+5b+c=0；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，ƒ③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 9．二次函数与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系的大致图象是( )A. B. C. D.10．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点()2,0，有下列说法：①0abc <；②0a b +=；③420a b c ++<；④若()()120,,1,y y 是抛物线上的两点，则12y y =，上述说确的是（ ）A. ①②④B. ③④C. ①③④D. ①②11．在同一坐标系中，一次函数2y ax =+与二次函数2y x a =+的图象可能是（ ）A. B. C. D.12．如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，则点（a , bc ）在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上部分点的对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则使y ＜0的x 的取值围为_____________________________．14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()20-，，()10x ，，且112x << ，与y 轴的正半轴的交点在()02，的下方．下列结论：① 420a b c -+=；② 0a b <<；③ 20a c +>；④ 210a b -+<．其中正确结论有_______________.（填序号）15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++>；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤20b a -=其中所有正确结论的序号是__________（填序号）16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。

给出四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a > ，其中正确结论的序 号是___________参考答案1．D【解析】由题意得：则： .得故①正确；3a+c=<0, 故②错误；当x=2时，即4a+2b+c＞0 ，故正确；由于，即2a+b=0，故④正确；由于函数图像与x轴有两个交点，即b2＞4ac，故⑤正确.综上所述，故选D.2．D【解析】试题分析：由抛物线开口方向得a>0，由抛物线的对称轴位置得b<0，由抛物线与y轴的交点位置得c<0，于是可对A选项进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数可对B选项进行判断；根据函数图象，利用函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值围对C选项进行判断；根据二次函数的增减性可对D选项进行判断．解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，所以A选项错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2−4ac>0，所以B选项错误；∵抛物线与x轴交于点(−1,0)、(2,0)，∴当−1<x<2时，y<0，所以C选项错误；∵x>2在对称轴的右侧，∴y随x的增大而增大，所以D选项正确。

故选D.点睛：本题主要考查二次函数图象与系数符号的关系及二次函数的增减性.通过分析函数图象得出相关结论是解题的关键.3．A【解析】由图象可知，抛物线开口向下，a＜0；对称轴为直线=1，则b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c＞0，即得ac<0，选项B错误；由对称轴为直线=1，可得2a+b=0，选项A正确；由对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），所以x=-1时，y=a-b+c=0，选项C不正确．由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，可得，即，选项D不正确，故选A.点睛：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象与系数的关系： ①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异） ③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．④抛物线与x 轴交点个数，△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 4．C【解析】①当m=0时,函数y=mx 2−6x+1的图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时,若函数y=mx 2−6x+1的图象与x 轴只有一个交点,则方程mx 2−6x+1=0有两个相等的实数根，所以△=(−6)2−4m=0，m=9.综上,若函数y=mx 2−6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9. 故选：C点睛：此题考查了抛物线与x 轴的交点或一次函数与x 轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用. 5．C 【解析】①根据抛物线开口向下即可得出a<0，结合抛物线的对称轴为x=1可得出b=-2a>0，①错误；②由①得出b=-2a ，将其代入2a-b 可得出2a-b=4a<0，②错误；③根据函数图象可知当x=1时y>0，将x=1代入抛物线解析式即可得出a+b+c>0，③正确；④根据函数图象可知当x=-1时，y<0，将x=-1代入抛物线解析式即可得出a-b+c<0，④正确；⑤根据函数图象即可得出x>1时y 随x 的增大而增大，⑤正确. 综上即可得出结论. 解：∵0a <， 0b >，∴①错误． 又∵12ba-=，∴2b a =-， 240a b a -=<．∴②错误． 又∵当1x =时0y >，∴0a b c ++>，∴③正确 当1x =-时0y <，∴0a b c -+<，∴④正确． 又∵当1x >时y 随x 的增大而减小．∴⑤是正确．6．D【解析】试题解析：∵y=ax+b 的图象过第一、三、四象限， ∴a ＞0，b ＜0，对于y=ax 2+bx 的图象， ∵a ＞0，∴抛物线开口向上， ∵x=-2ba＞0， ∴抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∵c=0，∴抛物线过原点． 故选D ．7．D【解析】已知抛物线的对称轴为直线x==2，可得b=-4a ，即4a+b=0，①正确；由图象可知当x=-3时，y ＜0，所以9a-3b+c ＜0，即9a+c ＜3b ，②正确；已知抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2可得抛物线与x 轴的另一个交点为（5，0），所以25a+5b+c=0，③正确；观察图象可知当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，④正确．故选D ． 点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 8．D【解析】，. ， ， ，故①正确；∵当 时，，，故②正确；∵对称轴是直线x =﹣1，x 1=0, ∴x 2=-2, ∴当﹣2＜x ＜0时，y ＜0,故③正确；故选Ｄ． 9．D【解析】A. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a>0，c<0，a 的值矛盾，故本选项错误； B. 由抛物线知，a>0，c<0；由直线知a>0，c>0，c 的值矛盾，故本选项错误； C. 由抛物线知，a>0，c>0；由直线知a<0，c<0，a 的值矛盾，故本选项错误； D. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确。

故选D. 10．A【解析】①∵二次函数的图象开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， ∴c ＞0，∵对称轴是直线x ＝12， ∴−2b a ＝12， ∴b ＝−a ＞0， ∴abc ＜0． 故①正确；②∵由①中知b ＝−a ， ∴a ＋b ＝0， 故②正确；③把x ＝2代入y ＝ax ²＋bx ＋c 得：y ＝4a ＋2b ＋c ，∵抛物线经过点（2，0），∴当x＝2时，y＝0，即4a＋2b＋c＝0．故③错误；④∵（0，y ₁）关于直线x＝12的对称点的坐标是（1，y ₁），∴y₁＝y₂．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A.点睛: 本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．11．D【解析】∵二次函数y＝x²＋a∴抛物线开口向上，∴排除B，∵一次函数y＝ax＋2，∴直线与y轴的正半轴相交，∴排除A；∵抛物线得a＜0，∴排除C；故选D．12．D【解析】试题分析：根据二次函数的图象判断a、b、c的符号，再判断点（a, bc）所在的象限．解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线对称轴y=<0，且a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴bc<0，∴点(a,bc)在第四象限。