2011中考冲刺数学专题9——动态几何问题【备考点睛】动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中。

动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。

【经典例题】类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。

例题1 如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解答：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米，∴PC BD =．又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠， 则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒 ，∴515443Q CQ v t===厘米/秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104x x=+⨯，解得803x=秒．∴点P共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．例题2 如图，在梯形ABCD中，3AD BC AD=∥，，5DC=，42AB=，45B=︒∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN AB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．解答：（1）如图①，过A、D分别作AK BC⊥于K，DH BC⊥于H，则四边形ADHK是矩形∴3KH AD==．在Rt ABK△中，2sin454242AK AB=︒==g．2cos45424BK AB=︒==g g，在Rt CDH△中，由勾股定理得，22543HC-=∴43310BC BK KH HC=++=++=（2）如图②，过D作DG AB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MN AB∥∴MN DG∥∴3BG AD==∴1037GC=-=由题意知，当M、N运动到t秒时，102CN t CM t==-，．∵DG MN∥∴NMC DGC=∠∠又C C=∠∠∴MNC GDC△∽△∴CN CMCD CG=即10257t t-=解得，5017t=（3）分三种情况讨论：①当NC MC=时，如图③，即102t t=-∴103t=②当MN NC=时，如图④，过N作NE MC⊥于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t==-=-（图①）A DCB KH（图②）A DCBG MN在Rt CEN △中，5cos EC t c NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC DC HC =即553t t -=∴258t = ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t = 解法二： ∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠，∴MFC DHC △∽△∴FC MC HC DC =即1102235t t-=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形例题3 (湖北武汉) 如图，拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (2，23)两点，与x 轴交于另一点B ；(1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45︒，设线段OP =x ，MQ =22y 2，求y 2与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x =m ，x =n 分别 与拋物线交于点E ，G ，与(2)中的函数图像交于点F ，H 。

问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的 数量关系；若不能，请说明理由。

解答： (1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴a = -21，b =23， A D CBMN（图③）（图④）A D C BM NH E（图⑤） A D CBH N MF∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23。

(2) 作MN ⊥AB ，垂足为N 。

由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)， N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒。

根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2。

∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… 。

由 、 得y 2=21x 2-x +25。

∵0≤x <3， ∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3)。

(3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)。

∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为 E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)。

同理，点F 、H 坐标为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)。

∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1，GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1。

EFHG 是平行四边形，EF =GH 。

∴m 2-2m +1=n 2-2n +1，∴(m +n -2)(m -n )=0。

由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。

因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)。

例题4 如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm(0x ≠)，则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ． （1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．解答：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，212220211211x x x x +===-由，得，（舍去）．OE F GH xy因为BQ +CM =34(211)20x x +=-<，此时点Q 与点M 不重合． 所以211x =-符合题意． ②当点Q 与点M 重合时，320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意． 故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 的值为211-．（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧，①当点P 在点N 的左侧时，由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形．②当点P 在点N 的右侧时，由220(3)(2)20x x x x -+=+-，解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ，即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以,以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．类型二、根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题例题5 已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．解答：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．则2AD =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，即32AM =时， 四边形MNQP 是矩形，32t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形．tan 60PM AM =Q °=MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·2=+2°当12t ≤≤时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·= 点评：此题关键也是对P 、Q 两点的不同位置进行分类。