儿何体精选1、如图，在梯形ABCD 中，AB〃CD, ZBCD=90°，且AB=1, BC=2, tanZADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，旦NEDC=NFBC, DE=BF,试判断Z\ECF的形状，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当BE： CE=1： 2, ZBEC=135°时，求sinZBFE 的值.［解析］(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.2又tanZADC=2,所以DM =- = 1.即DC=BC.2(2)等腰三角形.证明：因为DE = DF,』EDC = ZFBC, DC = BC .所以，ADEC竺ZXBFC所以，CE = CF,ZECD = ZBCF.所以，ZECF =』BCF + ZBCE = ZECD + ZBCE = ZBCD = 90°即AECF是等腰直角三角形. (3)设BE = k,则CE = CF = 2k,所以EF = 2&.因为为BEC = 135。

, XZCEF= 45°,所以ZBEF = 90°.所以BF =+(2gkV = 3kk 1所以sinZBFE = —=-.3k 32、已知：如图，在OABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB 交CB的延长线于G.(1)求证：AADE^ACBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.［解析］(1)..•四边形ABCD是平行四边形,.\Z1 = ZC, AD=CB, AB=CD .・.•点E、F分别是AB、CD的中点，1 1・.・AE=-AB , CF=-CD . 2 2・・・AE=CFA AADE^ACBF .(2)当四边形BEDF是菱形时，［解析］ (1) BM=FN. 证明：(2) (3)四边形AGBD 是矩形..・・四边形ABCD 是平行四边形， ・.・AD 〃BC . •.・AG 〃BD ,.・・四边形AGBD 是平行四边形. ・.•四边形BEDF 是菱形， ・・・DE=BE . VAE=BE ,・・・AE = BE = DE . .*.Z1 = Z2, Z3=Z4.V Z1 + Z2+ Z3+ Z4= 180° , .•.2Z2+2Z3 = 180° . .•.Z2+Z3=90° . 即 ZADB=90° ..•・四边形AGBD 是矩形3、如图13-1, 一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在 —起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点。

也是8。

中点） 按顺时针方向旋转.（1） 如图13-2,当与A8相交于点M, GF 与8。

相交于点N 时，通过观察或测 量BM,FN 的长度，猜想BM, FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2） 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时•，线段FE 的延长线与A8的延长线相交于点M,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N,血，（1）中的矜 想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.•： 4GEF 是等腰直角三角形，四边形时CO 是正方形，ZABD=ZF =45° , OB = OF. 又•： ZBOM=ZFON,:.BM=FN. BM=FN 仍然成立.证明：VAGEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形, /. ZDBA=ZGFE=45° , OB=()F.:.ZMBO=ZNFO=\35Q.乂 ,：匕MOB 二 ZNOF, :. △O8M 竺△OF/V .・・・BM=FN.A(G)B(E)图 13-1图 13-24、如图，已知。

0的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、BD、OC、OD,且OD=5。

3(1)若sin ZBAD =-,求CD 的长；(2)若ZADO： ZEDO=4： 1,求扇形OAC (阴影部分)的而枳(结果保留4)。

［解析］(1)因为AB是。

O的直径，OD = 5 所以ZADB=90° , AB=1()BD在Rt^ABD 中，sin ZBAD =——ABQ Dr\Q又sin ABAD =-,所以——=-,所以BD = 6 5 10 5AD = ^AB2 -BD2= V102 -62 = 8因为NADB=90°,AB1CD所以DE • AB = AD • BD, CE = DE所以。

Ex 10 = 8x624所以DE =—548所以CD = IDE =—5(2)因为AB是(DO的直径，AB±CDo o o所以CB = BD, AC=AD所以/BAD=/CDB, ZAOC=ZAOD 因为AO = DO,所以ZBAD=ZADO 所以NCDB = NAD0设ZAD0=4x,则ZCDB=4x由ZADO： ZED0=4： 1,则ZED0 = x因为ZADO+ ZEDO+ ZEDB=90°所以4x + 4x + x = 90°所以x=10°所以ZAOD=180° - (ZOAD+ZADO) =100°所以ZA0C= ZA0D= 100°Q _ 100 _2 _ 125扇形。

M 360 18A B［解析］VCH1AB, DB1AB,.EH AE CE'~BF~~AF~~FD •「HE=EC, ..・BF=FD5、如图，已知：C是以AB为宜径的半圆0上一点，CH1AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D, E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是。

的切线；（3）若FB=FE=2,求。

0的半径.（2）方法一：连接CB、OC,VAB是直径，・../ACB=90°・..F是BD中点，.•.ZBCF=ZCBF=90° -ZCBA=ZCAB=ZACO・.・ZOCF=90° "・CG是。

0的切线 --- 6'方法二：可证明△ OCF^AOBF（参照方法一标准得分）⑶解：由FC=FB=FE 得：ZFCE=ZFEC可证得:FA=FG,旦AB = BG由切割线定理得：（2 + FG）2=BGXAG=2BG2①在RtZXBGF中由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②由①、（2）得：FG2-4FG-12=0解之得：FG】=6, FG2=-2 （舍去）・・・AB = BG=4VI・・.。

0半径为2次6、如图，已知0为原点，点A的坐标为（4, 3）, 0A的半径为2.过A作直线/平行于尤轴，点P在直线/上运动.（1 ）当点P在。

O上时，请你直接写出它的坐标;（2 ）设点P的横坐标为12,试判断直线OP与。

A的位置9介y［解析］解：⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）⑵作AC_LOP,C为垂足.ZACP=ZOBP= 9O°,Z1=Z1AAACP^AOBP・AC - AP'~OB~~OP在Rt\OBP中，。

F = JOB，+ 时2 = ,又A P= 12-4=8,.•.AC=244-Vi53 ^1.941.94<2.・・0P与OA相.•.△AEH S AFB, AACE^AADF7、如图，延长。

的半径。

人到B,使OA=AB,OE 是圆的一条切线，E 是切点,过点8作。

E 的垂线, 垂足为点C.求证：zACB=-zOAC.3［解析］证明：连结OE 、AE,并过点A 作AFLDE 于点F,•：DE 是圆的一条切线，E 是切点, /. OEA.DC,又 V BC-LDE,:.OE//AF//BC.・•.匕 1=NAC8, Z2=Z3.*：OA=OE,:.Z4=Z3. 「・ Z4=Z2.乂..•点人是OB 的中点， .••点F 是EC 的中点.,*.AE=AC,/.Z1=Z2. 「・ Z4=Z2=Z 1.^VZACB=- ZOAC.38、［解析］（1） RtAAOB 中，ZO=90°, Na =60°・.・，匕 OAB 二 30°, 乂AB =4 米,・・・OB = -AB = 2米.2OA = AB-sin 60。

= 4 x= 2右米. ----------- 2 ⑵设 AC = 2x,BD = 3x,在Rt\COD 中，OC = 2^3 - 2x,OD = 2 + 3x,CD = 4根据勾股定理：OC 2+OD 2=CD 2・・.（20-2x ）~+（2 + 3x ）2 =4?13X 2+（12-8V3）X = 0x 013x+12-8V3 =0 ,8^3-12 • • X —••••••••.■ 13（3分）（5分）（7分）16 右-24AC=2x= -------------1316\/3-24即梯子顶端A沿NO下滑了 ------- 米.....（8分）13⑶..•点P和点P'分别是RtAAOB的斜边AB与RtAAOB的斜边A B'的中点PA = PO, P A'=P'O------------ （9 分）・.・ ZPAO = ZAOP,ZP f A f O = ZA,OP,——（10 分）.・. ZP'A'。

- ZPAO = ZA'OP' —ZAOP:.ZP f A f O一ZPAO = /POP' = 15°・.• ZPAO = 30°:.ZP f A f O = 45° ---------------------- （11 分）:.A r O = A'B' x cos 45° = 4 x — = 2^2 —- （12 分）2・・・ AA f = OA-A'O = （2>/3 -2^2）米. -- （13 分）。