一、选择1.如图,已知:在△ABC 中,AB=AC ,D 是BC 边上任意一点,DF ⊥AC 于点F ,E 在AB 边上,ED ⊥BC 于D ,∠AED=155°,则∠EDF 等于( )A .50°B .65°C .70°D .75° 2.下列判断错误的是( ) A.一条线段有无数条垂线;B.过线段AB 中点有且只有一条直线与线段AB 垂直;C.两直线相交所成的四个角中,若有一个角为90°,则这两条直线互相垂直;D.若两条直线相交,则它们互相垂直. 3.下列判断正确的是( )A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离;B.过直线外一点画已知直线的垂线,垂线的长度就是这点到已知直线的距离;C.画出已知直线外一点到已知直线的距离;D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.二、压轴题1.(11分)如图12-1,点O 是线段AD 上的一点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC . (1)求∠AEB 的大小;(2)如图12-2,△OAB 固定不动,保持△OCD 的形状和大小不变,将△OCD 绕着点O 旋转(△OAB 和△OCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.2.(本题9分)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,P 为线段AD 上的一个动点,PE ⊥AD 交直线BC 于点E.⑴若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E 的度数;⑵当P 点在线段AD 上运动时,猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明.3如图1,△ABC 的边BC 直线l 上,AC ⊥BC ,且AC=BC ;△EFP 的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF=FP .A O D CB E G 图12-1CD O A BE G 图12-2P E D C B A图①DA EC B Fl图②ABEF C lD图3图2图1EFE P C B AAB C AB C PP(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系;(2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连接AP ,BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想; (3)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ,连接AP ,BQ .你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.4.(本题8分)如图,CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线,且直线CD 经过∠BCA 的内部,点E ,F 在射线CD 上,已知CA=CB 且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,问EF=BE -AF ,成立吗?说明理由.(2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°,∠α=120°(如图2),问EF=BE -AF 仍成立吗?说明理由.(3)若0°<∠BCA<90°,请你添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件,使结论EF=BE -AF 仍然成立.你添加的条件是 .(直接写出结论)5.(本题6分) 如图①,直线l 过正方形ABCD 的顶点B ,A 、C 两顶点在直线l 同侧,过点A 、C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l . (1)试说明:EF =AE +CF ;(2)如图②,当A 、C 两顶点在直线l 两侧时,其它条件不变,猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案,不必说明理由).6、P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点,;如图3,若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点.分别指出每个图中∠BPC 和∠A 的关系,并选择其中一个加以证明.7、(本题12分)如图,C 是线段AB 上一点,分别以AC 、CB 为边作等边三角形ACD 和CBE ,连结AE 、BD ,AE 交DC 、DB 分别为F 点、H 点,BD 交CE 于G 点,连结FG.求证:① ∠ FAC =∠ HDC ;② ∠ HFG =∠ HAC;③ ∠ BHA = 120 °.H FG E DCBA8、如图,在△ABC 中,∠A = .∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; ……;∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009,得∠A 2009 .则∠A 2009= .9.观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.(每小题2分,观察得出结论与说明理由各占1分.)(1)如图①,△ABC 中,P 为边BC 上一点,试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小,并说明理由.BACD第7题图A 1A 2图①(2)将(1)中点P 移至△ABC 内,得图②,试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由.C BA P图②(3)将(2)中点P 变为两个点P 1、P 2得图③,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由.图③C B A P 1P 2(4)将(3)中的点P 1、P 2移至△ABC 外,并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧,且∠P 1BC <∠ABC ,∠P 2CB <∠ACB ,得图④,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由.CB AP 1P 2图④(5)若将(3)中的四边形BP 1P 2C 的顶点B 、C 移至△ABC 内,得四边形B 1P 1P 2C 1,如图⑤,试观察比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由.C BAP 1P 2B 1C 1图⑤10、.(1)BP + PC <AB + AC ,理由:三角形两边之和大于第三边,或两点之间线段最短. (2)△BPC 的周长<△ABC 的周长.理由:如图,延长BP 交AC 于M ,在△ABM 中,BP + PM <AB + AM ,在△PMC 中,PC <PM + MC ,两式相加得BP + PC <AB + AC ,于是得:△BPC 的周长<△ABC 的周长.C(3)四边形BP 1P 2C 的周长<△ABC 的周长.理由:如图,分别延长BP 1、CP 2交于M ,由(2)知,BM + CM <AB + AC ,又P 1P 2<P 1M + P 2M ,可得,BP 1 + P 1P 2 + P 2C <BM + CM <AB + AC ,可得结论.或:作直线P 1P 2分别交AB 、AC 于M 、N (如图),△BMP 1中,BP 1<BM + MP 1,△AMN 中,MP 1 + P 1P 2 + P 2M <AM + AN ,△P 2NC 中,P 2C <P 2N + NC ,三式相加得:BP 1 + P 1P 2 + P 2C <AB + AC ,可得结论.C BA P 1P 2MC BA P 1P 2NM(4)四边形BP 1P 2C 的周长<△ABC 的周长.理由如下:将四边形BP 1P 2C 沿直线BC 翻折,使点P 1、P 2落在△ABC 内,转化为(3)情形,即可.( 5)比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长<△ABC 的周长.理由如下:如图,分别作如图所示的延长线交△ABC 的边于M 、N 、K 、H ,在△BNM 中,NB 1 + B 1P 1 + P 1M <BM + BN ,又显然有,B 1C 1 + C 1K <NB 1 +NC + CK ,及C 1P 2 +P 2H <C 1K +AK +AH ,及P 1P 2<P 2H + MH + P 1M ,将以上各式相加,得B 1P 1 + P 1P 2 + P 2C + B 1C 1<AB + BC + AC ,于是得结论.CBAP 1P 2B 1C 1H KNM11.(本题12分)如图,已知等边△A B C 和点P ,设点P 到△A B C 三边A B 、A C 、B C (或其延长线) 的距离分别为h 1、h 2、h 3,△A B C 的高为h .在图(1)中,点P 是边B C 的中点,此时h 3=0,可得结论:h h h h =++321.在图(2)--(5)中,点P 分别在线段M C 上、M C 延长线上、△A B C 内、△A B C 外.(1)请探究:图(2)--(5)中, h 1、h 2、h 3、h 之间的关系;(直接写出结论) (2)证明图(2)所得结论; (3)证明图(4)所得结论. (4)(附加题2分)在图(6)中,若四边形R B C S 是等腰梯形,∠B =∠C =60o , R S =n ,B C =m ,点P 在梯形内,且点P 到四边B R 、R S 、S C 、C B 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4,桥形的高为h ,则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为: ;图(4)与图(6)中的等式有何关系?A B C D E P A B C DE P M(3) A B C DEP M (2) A B C D E M (P ) (1) A B C D E P M(5)12、已知:如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,∠BAC=∠DAE ,,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点. (1)当点B A D ,,在一条直线上,试说明:BE CD =; (2)将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形.请判断AM=AN 是否成立?并说明你的理由;(3)在旋转的过程中,设直线BE 与CD 相交于点P ,当90°<∠BAC<180°时,请直接写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系.13.如图,△ABC 与△ADE 都是等边三角形,连结BD 、CE 交点记为点F . (1)BD 与CE 相等吗?请说明理由.(2)你能求出BD 与CE 的夹角∠BFC 的度数吗?(3)若将已知条件改为:四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形,连结BE 、DG 交点记为点M (如图).请直接写出线段BE 和DG 之间的关系?14.正方形四边条边都相等,四个角都是90.如图,已知正方形ABCD 在直线MN 的上方,BC 在直线MN 上,点E 是直线MN上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG . (1)如图1,当点E 在线段BC 上(不与点B 、C 重合)时: ①判断△ADG 与△ABE 是否全等,并说明理由;②过点F 作FH ⊥MN ,垂足为点H ,观察并猜测线段BE 与线段CH 的数量关系,并说明理由; (2)如图2,当点E 在射线CN 上(不与点C 重合)时: ①判断△ADG 与△ABE 是否全等,不需说明理由;②过点F 作FH ⊥MN ,垂足为点H ,已知GD =4,求△CFH 的面积.C E ND A BM图①CA EM B D N 图② 第27题图F D15.如图1,一等腰直角三角尺GEF (∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF )的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD 保持不动,将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1)如图2,当EF 与AB 相交于点M ,GF 与BD 相交于点N 时,通过观察或测量BM ,FN 的长度,猜想BM ,FN 相等吗?并说明理由;(2)若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时,线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时,(1)中的猜想还成立吗?请说明理由.16如图,在R t △ABC 中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC ,点D 是AB 的中点,AF ⊥CD 于H 交BC 于F ,BE ∥AC 交AF 的延长线于E ,求证:BC 垂直且平分DE.17、如图,在△ABC 中,AB=AC ,P 为底边上任意一点,PE ⊥AB ,PF ⊥AC ,BD ⊥AC. (1)求证:PE+PF=BD ;(2)若点P 是底边BC 的延长线上一点,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请说明理由;如果不成立,请画出图形,并探究它们的关系.18. (5分)已知:如图,︒︒=∠=∠40,34D B ,AM ,CM 分别平分∠BAD 和∠BCD图2 E B D G F O M N C 图3 A B D G E FO MNC图1A ( G )B ( E )CD ( F ) CB A P D EABCDM123456(1) 求M ∠的大小:(2) 当D B ∠∠,为任意角时,探索M ∠与D B ∠∠,间的数量关系, 并对你的结论加以证明。