5.已知正四棱柱 中， 为 中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
解：令 则 ,连 ∥ 异面直线 与 所成的角即
与 所成的角。在 中由余弦定理易得 。故选C
6.已知向量 ，则
A. B. C. D.
解： 。故选C
7.设 ，则
A. B. C. D.
解：
.故选A.
8.若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为
高三数学理科模拟试题及答案一、选择题：1.来自A. B. C. D.
解：原式 .故选A.
2.设集合 ，则 =
A. B. C. D.
解： . .故选B.
3.已知 中， ，则
A. B. C. D.
解：已知 中， ， .
故选D.
4.曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
解： ,
故切线方程为 ,即 故选B.
由 ，．．．①则当 时，有 ．．．．．②
②－①得
又 ， 是首项 ，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得 ，
数列 是首项为 ，公差为 的等比数列．
，
评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 ．
第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： ，主要的处理手段是两边除以 ．
（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ∥ ， ，得 也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可。
作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角， .不妨设 ，则 .在 中，由 ，易得 .
设点 到面 的距离为 ， 与平面 所成的角为 。利用 ，可求得 ，又可求得
A． B. C. D.
解：
，
又 .故选D
9.已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则
A. B. C. D.
解：设抛物线 的准线为 直线 恒过定点P .如图过 分别作 于 ,于 ,由 ,则 ,点B为AP的中点.连结 ,则 , 点 的横坐标为 ,故点 的坐标为 ,故选D
10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
即 与平面 所成的角为
分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。 。以下略。
19（本小题满分12分）
设数列 的前 项和为 已知
（I）设 ，证明数列 是等比数列
（II）求数列 的通项公式。
解：（I）由 及 ，有
点 ，点P在椭圆上，即 。
整理得 。
又 在椭圆上，即 .
故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将 及①代入②解得
, = ,即 .
当 ;
22.(本小题满分12分)
设函数 有两个极值点 ，且
（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；
（II）证明：
解:（I）
令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得
（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（III） 的可能取值为0，1，2，3
， ，
，
21（本小题满分12分）
已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为
（I）求 ， 的值；
（II） 上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？
也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。
18（本小题满分12分）
如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面
（I）证明：
（II）设二面角 为60°，求 与平面 所成的角的大小。
（I）分析一：连结BE， 为直三棱柱，
为 的中点， 。又 平面 ，
（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，
解： ，只需求 展开式中的含 项的系数：
14.设等差数列 的前 项和为 ，若 则 9.
解： 为等差数列，
15.设 是球 的半径， 是 的中点，过 且与 成45°角的平面截球 的表面得到圆 。若圆 的面积等于 ，则球 的表面积等于 .
解：设球半径为 ，圆 的半径为 ，
因为 。由 得 .故球 的表面积等于 .
若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。
解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为
则 ，解得 .又 .
（II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、
由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设
代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。
由韦达定理有： ．．．．．．．．①
.假设存在点P，使 成立，则其充要条件为：
16.已知 为圆 : 的两条相互垂直的弦，垂足为 ,则四边形 的面积的最大值为。
解：设圆心 到 的距离分别为 ,则 .
四边形 的面积
三、解答题：17设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。
分析：由 ，易想到先将 代入 得 然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。
A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种
解：用间接法即可. 种.故选C
11.已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率为 的直线交 于 两点，若 ,则 的离心率为
A． B. C. D.
解：设双曲线 的右准线为 ,过 分别作 于 , 于 , ,由直线AB的斜率为 ,知直线AB的倾斜角为 ,
由双曲线的第二定义有 .
20（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。
又 故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是
A.南B.北
C.西D.下
解：展、折问题。易判断选B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13. 的展开式中 的系数为6。