概率论
古典概率
古典概率：概率五公式：加、减、乘、全概、贝叶斯 1. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
2. P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A-B)≡P(A B
̅)=P(A)-P(AB) P(A)=P(AB)+P(A B ̅) 3. P(AB)=P(A|B)P(B)
4. 若事件A 由几个互不相容的事件B i 构成，则有 P(A)= ∑P(A|B i )P(B i ) = ∑P(AB i )
用于已知B i 发生的概率求A 发生的概率
5. 若事件A 由几个互不相容的事件B i 构成，则有 P(B i |A)=
P(AB i )P(A)
关于互斥、独立与不相关的区别： 1. AB 互斥（不相容）：P(AB)=0 2. AB 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)
AB 独立：等价于AB 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)
ABC 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A) P(C)且P(BC)= P(B)P(C) ABC 三三独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
ABC 独立：ABC 两两独立、ABC 三三独立同时成立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A) P(C)且P(BC)= P(B)P(C)
且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
ABC …独立：从2到n 的nn 独立同时成立
3. AB 不相关：Cov(A,B)=0或P(AB)=P(A)P(B)或ρAB =0 通用概率模型：
古典概率：等可能事件
几何概率：面积作比，或用第一型曲线曲面积分计算 投球入盒问题与盒中抽球问题：
事件总体个数表
现代概率
现代概率：随机事件数字化，连续化：概率→概率密度
基础内容
最主要的：
概率密度 分布函数
4个数字特征重要公式：
DX =EX 2−(EX)2 DX ≡E(X −EX)2 D (X +Y )=DX +DY +2Cov(X,Y)
Cov (X,Y )=EXY −EXEY Cov (X,Y )≡E[(X −EX )(Y −EY )]
ρ=
√DXDY
基本概率模型：
最大值最小值分布：max(X,Y) F M X Y max(X,Y) F m (z )=1−[1−F X (z )][1−F Y (z )] 二维正态分布：f(x,y)
=
2πσ1σ2√1−ρ2
{−
12(1−ρ2)
[
(x−μ1)2σ12
−2ρ
(x−μ1)(y−μ2)
σ1σ2
+
(y−μ2)2σ22
]}
多维随机变量
概率分布表
随机变量的函数的分布
已知随机变量的分布，求随机变量的函数的分布：已知X 的分布求f(X)的分布，已知X,Y 的分布求f(x,y)的分布等 方法：分布函数法和公式法
概率密度 分布函数 特征函数 数字特征
期望 方差 原点矩 中心矩 协方差 互协方差 相关时间 自相关函数 互相关函数 自相关系数 相关系数 功率谱密度 互功率谱密度
联合分布
边缘分布 条件分布
联合密度 f(x,y)
边缘密度 f X (x,y ) = ∫f(x,y)dy +∞
−∞ 条件密度 f X|Y (x,y ) = f(x,y)f Y (y)
列概率分布列 一维连续
1. 公式法：f Y (y) = f X [h (y )]·|h ′(y)| 要求y=g(x)严格单调，若不单调则须分段求解然后作和。

2. 分布函数法：F Y (y )=P (Y ≤y )=P [g (X )≤y ]=P [X ≤h (y )]=F X [h (y )] 二维离散
列概率分布表 二维连续
1. 公式法：
和型 Z=kX+Y f Z (z )=∫f(x,z −kx)dx +∞
−∞
有个规律就是，将y 代入f(x,y)，再乘以|∂y
∂z |
Z=aX+bY+c f Z (z )=∫f(x,
z−ax−c b )dx
|b|+∞−∞ 积型 Z=XY f Z (z )=∫f(x,z x )dx
|x|+∞−∞ f Z (z )=∫f(z
y ,y)dy
|y|+∞−∞
商型
Z=X/Y
f Z (z )=∫
f (zy,y )|y|dy +∞−∞
2. 分布函数法： 然后分三步：①画出z 区域
②确定z 的积分区间 ③分区间进行区域积分 最后注意分段函数讨论自变量范围 二维离散连续混合
综合运用分布函数法和全概率公式： F Z (z )=P (Z ≤z )=P [g (X,Y )≤z ]=P (X =a )P [g (a,y )≤z ]+P (X =b )P[g (b,y )≤z]
数理统计
基础内容
总体，样本，样本均值X ，样本方差S 2，抽样分布 统计量： X = 1
n ∑X i n i=1
S 2=
1n−1
∑(X i −X )2n i=1= 1n−1∑X i 2−X 2n i=1
对于正态总体， EX =μ，DX =σ2
n
，ES 2=σ2，DS 2=2σ4
n−1
抽样分布：
χ2=x 12+x 22+⋯+x n 2
t =X √Y/n
F =Y 1/n 1Y 2/n 2
大写变小写
F Z (z )=P (Z ≤z )=P [g (X,Y )≤z ]=
∬f (x,y )dxdy g (x,y )≤z
对于正态总体，X 与S 2相互独立，X ~ N(μ,σ2
n )，X−μ
σ/√
n (0,1)，且
(n −1)S 2
σ2 ~ χ2(n −1) X S/√n (n −1) S 12/σ12
S 22/σ22
~F (n 1−1,n 2−1)
大数定律
一个不等式、两个定理、三个定律 切比雪夫不等式：P(|X −μ|≥ε)≤
σ2
ε2 P (|X −μ|<ε)≥1−σ2
ε2
独立同分布中心极限定理：对X 作独立重复试验，当n 非常大时Y =∑X i n i=1 ~ N(n X ,n S 2
)
参数估计
已知某一总体的概率模型，但参数未知，而通过多次抽样后的统计量来估算待定参数的过程。

X ，S 2，X i ，以及各阶原点矩，中心矩等等统计的结果或之后计算的结果都可以代入到这一过程中。

点估计：
矩估计：①EX =∫xf (x )dx =g(θ)+∞
−∞
②反解 θ=h(EX)
③令 θ
̂=h(x) 极大似然估计：①L =f (x 1)f (x 2)…f(x n ) ②lnL =lnf (x 1)+lnf (x 2)+⋯+lnf(x n )
③
dlnL dθ≜0，得θ
̂，若不存在，则取一个θ使L 最大 区间估计：
置信区间，置信度
若P(θα2
<θ<θα2
)≥1−α，则
置信区间为(θα2
θα2
)的置信度为1−α
无偏性：
验证Eθ
̂=θ。