第3章 数字特征1． （1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x xe xf π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案 填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X ～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21. 2． （1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x 内服从均匀分布，求： （1）关于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。

解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f x xX 21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他情况下0)(=x f X .（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4． （1991年、数学一、填空）设X ～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。

[答案 填：0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P 即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2Xe X E （ ）.[答案 填：34] 6． （1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。

[答案 填：18.4]X ～B(10,0.4）,则4.18164.2)())((22=+=+=X D X E EX7． （1996年、数学一、填空）设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从分布N(0,21),则E|X-Y|=( ). [答案 填：π2]令U=X-Y,则U ～N(0,1),从而E|X-Y|=E|U|=⎰⎰∞+-∞+∞--=22222221||du uedu eu u u ππ=πππ2222)2(222022=-=--⎰⎰∞+∞+-dt e u d et u8． （1996年、数学一、计算）设两个随机变量ξ与η相互独立且同分布，ξ的分布律为P(ξ=k)=31,k=1,2,3,又X=max(ξ,η),Y=min(ξ,η). （1）写出(X,Y)的分布律; （2）求E(X). 解： （1）(X,Y)的分布律如下：919292309192200911321XY（2）X 的边缘分布为:953191321pX则E(X)=922.9． （1997年、数学一、选择）设随机变量X 与Y 相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=( ). A.8 B.16 C.28 D.44[答案 选：D] D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44 10． （1997年、数学一、计算）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数和数学期望。

解：显然X ～B(3,0.4),其分布律为13136.04.0}{-==i C i X P ，i=0,1,2,3,分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤<=x 2 12x 1 125811x 0 125270)(x x F ， E(X)= 5611． （1998年、数学一、计算）设随机变量X 与Y 相互独立，均服从N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。

解：显然X-Y ～N(0,1),则1)(2=-Y X E ,而E|X-Y|=π2(见第102题），故|X-Y|=1-π212． （2000年、数学一、计算）某流水生产线上每个产品不合格的概率为p （0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。

设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E(X)和D(X)。

解： 记q=1-p,则X 的概率分布为p qi X P i 1}{-==，i=1,2,…∑∑∑∞=∞=∞=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='='==111111)()()(i i i i i i p q q p q p q p p iq X E ∑∑∑∞=∞=∞=--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='='==112211222)1()()()(i i i i i i p pq q p iq p iq p p q i X E 则： 2221)]([)()(ppX E X E X D -=-= 13．（1987年、数学三、计算）设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,)(~2222x x e a x x f X a x ，求随机变量X Y 1=的期望)(Y E 。

解：由⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,)(~2222x x e a x x f X a x ，可知 dx e a xx dx x f x X E Y E a x ⎰⎰+∞-+∞∞-===022221)(1)1()()22(22110220)(21222ππ===⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰∞+-∞+-+∞-dx e a dt e a t a x a x d e a x t a x泊松分布令14． （1989年、数学三、计算）设X 与Y 的联合密度为⎩⎨⎧>>=+-其它，，00,0),()(y x e y x f y x ， 求：)(Y X P <，)(XY E 。

解：⎩⎨⎧>>=+-其它，，00,0),(~),()(y x e y x f Y X y x ，可知⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-<<==)(0),(),(xy x yx dy edx dxdy y x f Y X P()2121|2020)(=-==-=∞+-+∞-+∞∞++-⎰⎰xxxy x e dx edx e或()d y e dx edy yy x yy x ⎰⎰⎰+∞+-+-+∞-==)(0)(0|()21210202=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∞+--+∞-⎰y y y ye e dy e e15．（1991年、数学三、选择）若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）正确。

)()()(.Y D X D XY D A = )()()(.Y D X D Y X D B +=+ X C .与Y 独立X D .与Y 不独立[答案 选：B ]A .由2222)(,)(EY EY DY EX EX DX -=-=得])(][)([2222EY EY EX EX DXDY --=22222222)()()()(EX EY EY EX EY EX EY EX --+= 又22222)()())(()()(EXEY Y X E XY E XY E XY D -=-= 2222)()()(EY EX Y X E -= 可知)()()(Y D X D XY D ≠B .由EXEY XY E =)(得0)()()(),(=-==--=EXEY XY E EY Y E EX X E Y X Cov 可知2)]()[()(Y X E Y X E Y X D +-+=+DYDX Y X Cov DY DX EY Y EX X E EY Y E EX X E EY Y EX X E +=++=--+-+-=-+-=),())((2)()()]()[(222C . 由EXEY XY E =)(，得0),(=Y X Cov ，得0)()(),(,==Y D X D Y X Cov Y X ρ，可知X 与Y 不相关，但未必独立。

16．（1992年、数学三、计算）谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为3.0,2.0,1.0，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X 的期望与方差。

解：设=A {谋设备第i 个需调整的部件}且321,,A A A 相互独立，1.0)(1=A P ，2.0)(2=A P ，3.0)(3=A P ，同时需调整的部件数X 的所有可能取值为3,2,1,0===)()0(321A A A P X P 504.07.08.09.0))()((321=⨯⨯=A A A P321()1(A A A P X P ==321A A A +)321A A A +)()()(321A P A P A P =)()()(321A P A P A P +)()()(321A P A P A P +398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=321()2(A A A P X P ==321A A A +)321A A A +)()()(321A P A P A P =)()()(321A P A P A P +)()()(321A P A P A P +092.07.02.01.03.08.01.03.02.09.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯====)()3(321A A A P X P 006.03.02.01.0))()((321=⨯⨯=A A A P由6.0006.03092.02398.01504.00=⨯+⨯+⨯+⨯=EX82.0006.03092.02398.01504.0022222=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 得46.06.082.0)(222=-=-=EX EX DX 17．（1993年、数学三、计算）设⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，，02083)(~2x x x f X 且Y 与X 同分布，)(a X A >=与)(a Y B >=独立，43)(=+B A P ，求：（1）a 值；（2）21X的期望。

解：（1）由设⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，，02083)(~2x x x f X 且Y 与X 同分布，)(a X A >=与)(a Y B >=独立，可知当0<a 时⎰+∞=>=a dx x f a X P A P )()()(18108302322020==++=⎰⎰⎰+∞x dx dx x dx a1)()()(==>=⎰+∞ady y f a Y P B P ，即11111)()()()()(=⨯-+=-+=+B P A P B P A P B A P 与43)(=+B A P 相矛盾，因而0≥a ，即 ⎰+∞=>=a dx x f a X P A P )()()()8(8181083323222a x dx dx x aa -==+=⎰⎰+∞⎰+∞=>=ady y f a Y P B P )()()()8(813a -=，即)()()()()(B P A P B P A P B A P -+=+)8(813a -=)8(813a -+⨯--)8(813a )8(813a -43= 即048)8(16)8(323=+---a a ，即34=a ，34-=a （不合题意，舍去）（2）4383831)(1)1(20220222==⨯==⎰⎰+∞∞-x dx x xdx x f x X E 。