排列与组合综合问题
第三课时 排列与组合的综合问题
自主学习
课标导学
利用排列组合的基本概念解决排列组合的综合问题.
教材导读
1.排列、组合的应用题,是高考常见题型,重点考查有附 加条件的应用问题.主要有以下三个方面:
(1)以元素为主,___特__殊__元__素_____优先考虑; (2)以位置为主,____特__殊__位___置_______优先考虑;
[解析] 如果用 2 种颜色,则有 C26种颜色可以选择,涂 上有 C12种方法.
如果用 3 种颜色有 C36种颜色可以选择,涂上有 3×2×(1 +2)=18(种)方法.
∴不同涂色种数为 C26·C12+C36·18=390(种).
[答案] 390
练 1 如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有
本的分法亦为 C16C25C33=60(种). (3)由(1)知,分成三堆的方法有 C16C25C33种,但每一种分
组方法又有 A33种不同的分配方案,故一人得一本,一人得 两本,一人得三本的分法有 C16C25C33A33=360(种).
(4)把 6 本不同的书分成三堆,每堆二本与把六本不同的 书分给甲、乙、丙三人,每人二本的区别在于,后者相当于 把六本不同的书,平均分成三堆后,再把每次分得的三堆书 分给甲、乙、丙三个人,因此,设把六本不同的书,平均分 成三堆的方法有 x 种,那么把 6 本不同的书分给甲、乙、丙 三人每人 2 本的分法就应有 x·A33种.
[解] (1)在 7 条纵线中任选 2 条,在 5 条横线中任选 2 条,这样的 4 条线可组成 1 个矩形,故可组成矩形有 C27·C25= 210 个;
(2)每条东西向街道分成 6 段,每条南北向街道被分成 4 段,从 A 到 B 最短路线的走法无论怎样走,一定包括 10 段, 其中 6 段方向向东,另 4 段方向向北,每种走法,即是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向的(剩下 4 段即是走 南北方向的),共有 C610=C410=210 种走法.(同样可以从 10 段选 4 段走南北方向,每个选法是 1 种走法).
[评析] 要在实际问题中建立组合模型,就需要抓住特 例进行分析,如在本题(1)中,注意一个矩形可由图中的两条 横线和两条纵线所围成,因而只要从 5 条横线中选 2 条,再 从 7 条纵线中选 2 条即可,从而建立组合模型;而在(2)中, 观察分析每条最短路线均由 10 段组成,其中 6 段为由西向 东的方向,而另 4 段由南向北的方向所组成.
3. 解 决 排 列 与 组 合 应 用 问 题 常 用 的 方 法 有 : ___直__接_______法、_____间__接______法、两个原理法、特殊元
素法、特殊位置法、____捆__绑_________法、___插__空_________ 法等.
解决排列、组合综合问题要遵循哪两个原则?
(2)处理排列组合应用题常用的方法有 ①相邻元素归并法(又称捆绑法); ②相离元素插空法; ③定位元素优先安排法; ④有序分配依次分组法; ⑤多元素不相容情况分类法; ⑥交叉问题集合法; ⑦混合问题先分组后排序法; ⑧“至少”,“至多”问题间接排除法.
思维激活
涂色问题
例 1 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色, 每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格 子颜色不同,则不同的涂色方法共有________种.(用数字作 答)
答案:96ຫໍສະໝຸດ 4.马路上有编号为 1,2,3,…,9 的 9 只路灯,为节约 用电,现要求把其中的 3 只灯关掉,但不能同时关掉相邻的 2 只或 3 只,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方 法共有________种.
解析:关掉第一只灯的方法有 7 种,关掉第二只、第三 只灯时要分类讨论,情况较为复杂,换一个角度,从反面入 手考虑,由于每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条 件的亮灯与暗灯的排列,于是问题转化为在 6 只亮灯中插入 3 只暗灯,暗灯不在两端且任何 2 只暗灯不相邻,也就是在 6 只亮灯所形成的 5 个空隙中选 3 个插入 3 只暗灯,其方法 有 C35=10(种),故满足条件的关灯的方法共有 10 种.
[答案] B
分组与分配问题 例 3 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分 法? (1)一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人得一本,一人得二本,一人得三本; (4)平均分成三堆; (5)平均分给甲、乙、丙三人.
[分析] (1)是分组问题,常分三步进行,这三步完成之 后,事件便宣告完成;(2)与(1)类似,甲得一本,乙得二本, 丙得三本,事实上就是(1)的分组问题;(3)是在(1)的基础上 再进行分配;(4)是平均分组问题,它与次序无关;(5)是在(4) 的基础上再进行分配.
而 6 本书分给甲、乙、丙三人每人 2 本的分法可以理解 为:
三个人一个一个地来取书,甲从 6 本不同的书本中任取 出 2 本的方法有 C26种,甲不论用哪一种方法取得 2 本书后, 乙再从余下的 4 本书中取书有 C24种方法,而甲、乙不论用 哪一种方法各取 2 本书后,丙从余下的两本中取两本书,有 C22种方法,所以一共有 C26C24C22=90(种)方法.所以 xA33=C26C24 C22=90,x=15.
答案:C
3.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分 别由 6 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙 三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则 不同的传递方案共有________种(用数字作答).
解析:因为第一棒与最后一棒甲、乙均能传递,而丙不 能传递最后一棒,分两类讨论:(1)丙传第一棒,此时传递 方案有 C12·A44=48(种);(2)甲、乙传第一棒,传递方案有 A22 A44=48(种).因此共有 48+48=96 种传递方案.
故应选 B.
相同元素的排列问题
例 2 某市有 7 条南北向街道,5 条东西向街道(如图所示). (1)图中共有多少个矩形? (2)从 A 点走到 B 点最短路线的走法有多少种?
[分析] (1)任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成; (2)从 A 点走到 B 点最短路线的走法,无论怎样走,一 定包括 10 段,其中 6 段方向相同,另 4 段方向相同.
(1)由分步乘法计数原理可知,共有 44=256 种放法; (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起,有 C24种不同的取法, 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看做三堆,并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里,有 A34种不同的放法.根据分步乘法 计数原理,共有 C24A34=144 种不同的放法; (3)恰有 2 个盒子不放球,也就是把 4 个不同的小球只放
4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2
块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A.96
B.84
C.60
D.48
[解析] 如题图,当花坛中的花各不相同时,共有 A44种 不同的种法;若在花坛中种植 3 种花,此时一种方法是 A
与 C 种的花相同有 C14种,B,D 各不相同有 A23种,另一种 方法是 B,D 相同,A,C 各不相同,共有 C14A23种,因此种 植 3 种花时有 2C14A23种;若在花坛中种植两种花,则只能是 A,C 相同,B,D 相同,共有 C14C13种.所以共有 A44+2C14A23 +C14C13=24+48+12=84(种)不同种法.
[解] (1)先在 6 本书中任取一本,作为一堆,有 C16种取 法,再从余下的五本书中任取两本,作为一堆,有 C25种取 法,再从余下三本中取三本作为一堆,有 C33种取法,故共 有分法 C16C25C33=60(种).
(2)由(1)知,分成三堆的方法有 C16C25C33种,而每种分组 方法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得二本,丙得三
(3)暂不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去
_不__符__合__条__件__的__种__数___.前两者是直接法,后者是间接法.
2.求解排列与组合问题的一般步骤是: (1)把具体问题化归为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用两个计数原理; (3)分析题目条件,避免重复或遗漏; (4)列出式子,准确计算.
(5)由 4 知平均分给甲、乙、丙三人有 90 种方法.
[评析] 6 本书分给甲、乙、丙三人各两本和分成三堆, 每堆两本是有区别的,前者虽然也属于平均分组问题,但需
甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿,而后者又是分组问 题,它与次序无关,所以要除以 A33.一般地,n 个元素中有 n1(n1≤n)个元素,平均分成 m 组要除以 Amm.
练 3 有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放 入盒内:
(1)共有几种放法? (2)恰有 1 个空盒,有几种放法? (3)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法?
[解] 此题关键是第(2)问,恰有 1 个空盒相当于一定有 2 个小球放在同一个盒子中,因此,先从 4 个不同的小球中 取出 2 个放在一起(作为一个整体),是组合问题.又因为 4 个盒子中只有 1 个是空的,所以另外 3 个盒子中分别放入 2 个,1 个,1 个小球,是排列问题.
答案:10
5.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3,4,7,8},从 A∩B 和(∁UA)∪(∁UB)中各取 2 个数 字.问:
(1)能组成多少个比 6100 大的四位数? (2)能组成多少个被 5 除余 2 的四位数?
解:(1)A∩B={1,2,3,4},(∁UA)∪(∁UB)={5,6,7,8},(∁UA) ∪(∁UB)中取 6,7,8 中的一个作千位数,有 C13种;余下的三个 数中任取一个有 C13种;在 A∩B 中任取两个有 C24种,把后 面的 3 个数作为百位、十位、个位有 A33种,所以所求四位 数有 C13·C13·C24·A33=324(个).