题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n


qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0

x xl
u ( x,0)

e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u

t
2

a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0
lx
解：设杆的位移函数为u(x,t),该
问题是杆的纵向振动问题:
2u(x, t) t 2

a
2u(x, t) x 2
,Байду номын сангаас
(0 x l, t 0)
考虑边值条件.设一端固定是在x=0处,则有 u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)放手后成为自由 端,也就是在振动过程中不受外力作用，故有
表明热流方向与x轴正向相反，即
k u q
x xl
综上述，相应的定解问题为
Sn
u

t

a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
0
qn
x l
u(0,
t
)

0,
u(
x,
t
)
q, t0

x xl k

x(l x)
u(x,0) 2 , 0 x l