线性代数练习题答案三一、温习巩固?x1?2x2?x3?x4?0?1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0234?1解：化系数矩阵为行最简式?121?1??120-1???行变换??A??36?1?30010??5101?5??0000因此原方程同解于??x1??2x2?x4令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为x3?0???2??11???0?x?k1k2??，其中k1,k2为任意常数。
000??1?4x1?2x2?x3?2?2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?812?解：把增广矩阵化为阶梯形?42?12??13?3?8??13-3-8???r1?r2??行变换????3?12103?12100-101134??113?113?0008?08?0-6因此R?2?R?3，所以原方程组无解。
3. 设??,??。
求向量?，使2??3。
解：??151??3,,0,??33??4. 求向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的秩和一个极大线性无关组。
解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?11A??2??4?二、练习提高⒈ 判断题03130?117221402??1??1??050???60312312??1303??01010???2?4?20100312??101??000?0?4?4??所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。
⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。
⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。
若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。
若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。
?A⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若RT??AT???R，则线性方程组 ?0?零解。
x?y00?必有非⑷ 对矩阵?A?E?施行若干次初等变换，当A变为E时，相应的E变为A?1。
⑸ 设向量组?1,?2,?3线性无关，?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k，必有?1,?2,?3，k?1??2线性相关。
⑹ 设n维列向量组?1,?2,?,?s线性相关，A是m?n矩阵，则A?1,A?2,?,A?s线性相B和A的秩分别为RB和RA，⑺ 若向量组B能由向量组A线性表示，则RB?RA。
关。
R?r?m?n，⑻ 设A为m?n矩阵，则A的r?1阶子式不能为0。
⑼ 设n元齐次线性方程组的一个基础解系为?1,?2,?3,?4，则?1,?1??2,?1??2??3,?1??2??3??4仍为该齐次线性方程组的基础解系。
⑽ 集合V?{x?x1?x2?xn?0,xi?R}是一个向量空间。
⒉ 填空题⑴ 齐次线性方程组A4?3X3?1?0有非零解的充要条件是__R?3?x1?x2??a1?x?x?a?232⑵ 若线性方程组?有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足的条件是?x3?x4??a3??x4?x1?a4a1?a2?a3?a4?0?12?2⑶ 设三阶矩阵A??212?，三维列向量??T，已知A?与?线性相?304关，则a??1⑷ 若??能由?1?,?2?,?3?唯一线性表示，则k满足条件k?0且k??3⑸ 设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n?1，则线性方程组Ax?0的通解为。
⑹ 由向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T生成的向量空间的维数为。
⒊ 计算题??x1?x2?x3?1?⑴ ?取何值时，方程组?x1??x2?x3??有唯一解，无解或有无穷多解？在有无?x?x??x??23?1穷多解时求解。
解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得 ??11?1??11r1?r3?1??1???B??Ab???1??1???11?11?1??11?1??1r2?r1r3??r1r3?r20??1?1???00??1?1???0????2210??21??2?01??1?0?所以当??0,?1时，R?R?3线性方程组有唯一解。
当??0时，R?2?3?R线性方程组无解。
当1时，R?R?2?3线性方程组有无穷多解。
若??1，?111?1??110?1?001?0?rrB??Ab00?2?000?2?0000?0??，解为?x11??1??x??c?10?; ?2?1?x30?0???11?1??1??10?1??1?010?0?，解为rr??0?20?0?若??1，B??Ab000?0???000?0???x1??1???1??x??c?00?。
?2?2x3???1????0??⑵ 已知?1,?2,?3线性无关，若?1?2?2,2?2?a?3,3?3?2?1线性相关，求a的值。
解：由题意知存在不全为0的k1,k2,k3，使得k1?k2?k3?0，整理得 ?1??2??3?0?k1?2k3?0?因为?1,?2,?3线性无关，从而有齐次线性方程组?2k1?2k2?0?ak?3k?03?2由k1,k2,k3不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为0?a??32⑶ 设向量?1,?2,?,?t是齐次方程组Ax?0的一个基础解系，向量?不是方程组Ax?0的解，即A??0。
试证明：向量组?,1,2,?,t线性无关。
解：设有一组数k,k1,?,kt，使得k??k1kt?0整理该式得??k1?1kt?t?0① 用A左乘上式两边，注意A?i?0，故有A??0 因为A??0?k?k1kt?0 ②将②代回①式，得到k1?1kt?t?0，因为?1,?,?t线性无关，故必有k1kt?0，再由②式，可得k?k1kt?0⑷ 已知向量组?1?T,?2?T,?3?T与向量组?1?T，?3?T具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示，求a,b的值。
解：对矩阵??1,?2,?3?做初等行变换?139??139?206012?，所以R??1,?2,?3??2，且?1,?2是一个极大无关组 ??31?7??000又因为R??1,?2,?3??R??1,?2,?3?，所以1ab21?0?a?3b?110另一方面，?3可由?1,?2,?3线性表示，所以?3可由?1,?2线性表示，即13b201?0?b??310?x1?x2?0⑸ 设4元齐次线性方程组为?，又已知某齐次线性方程组x?x?04?2的通解为k1T?k2T。
求：①方程组的基础解系；②方程组和是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。
①Ⅰ的系数矩阵为A010?1??，R?2??故Ⅰ的基础解系含有4?2?2个解向量，可取为和②Ⅱ的通解为x1??k2,x2?k1?2k2,x3?k1?2k2,x4?k2，代入Ⅰ可得线性代数测试题一、选择题1.设A.A,B为n阶方阵，满足等式AB?0，则必有A?0 或B?0； B.A?B?0； C.A?0 或B?0； D.A?B?0.2.四阶行列式a100b40a2b300b2a30b100a4的值等于A.a1a2a3a4?b1b2b3b4；B.；C.a1a2a3a4?b1b2b3b4；D..等于A.3nA是 n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若 A?2，则3A* n?12n?1；B.3?23n；C.2；D.3?2n?2.4.设B.A是n阶方阵，且A=0，则A.A中必有两行的元素对应成比例；A中任意一行向量是其余各行向量的线性组合； C.A 中必有一行向量是其余各行向量A中至少有一行向量的元素为0.的线性组合； D.5.设A为m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是 A.A的列向量组线A的列向量组线性相关； C.A的行向量组线性无关；D.A的行向量组线性相关.分）1.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且A?a,B?b,C性无关； B.二、填空题 1. 计算行列式33244212333431243444.?301ABAB?A?2BA?1102. 设矩阵和满足关系式，其中??.求矩阵B.?0143. 已知a1?T,a2?T求：与a1,a2都正交的向量；与a1,a2等价A的特征值是1，2，3，矩阵的规范正交向量组.. 设三阶实对称矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1?T,a2?T 求A的属于特征值3的特征向量；求矩阵A.5. 设线性代数测试题答案一、选择题1.C；.D； .A； .C； .A. 二、填空题 A是对称矩阵，B是反对称矩阵，试证明：A2?B2是对称矩阵.?0ab；.?1.?A?1?mnB?1?111?；.abc?0；.－1；5.1.2340??三、计算证明题1．解：第2行提取公因子2，第3行提取公因子3，第4行提取公因子4，再利用范德蒙行列式的结果得:11222332442123. ＝4！*3！*2！334310112?12．解：由题设AB?A?2B,得B?A，因为A?2E?1?10??1?0所以A?2E可逆，且?101??3011B?A??1?10??110??012??014?2?1?1??301??5?2?2???2?2?1??1104?3?2?. ??111?3?01422? 3．解：设向量?＝解：用施密特正交化公式，取?1所以与a1，a2都正交的向量是?a1?T?2?a2?7?1?a2?a1?a2?a1?T7于是?1,?2是与a1,a2等价的正交向量组..解：由于 A是实对称矩阵，所以它的不同特征值对应的特征向量正交.设A属于特征值3的特征向量为a?T，则a1a?0,a2a?0.故TT即?－x1?x2?x3?0解之，得基础解系为T??x1?2x2?x3?0向量为A的属于特征值3的全部特征kT，其中k是不为零的任意常数.??111??1001取P1?20?，由PAP??020?有?1?11??003?1001A?P?020?P?0035.证：T?ATAT?BTBT?2?2?A2?2?A2?B2即A2?B2为对称矩阵.线性代数习题及参考答案3单项选择题1.答案：B2. 设m×n矩阵A的秩为m，则___。
C、对于任一m 维列向量b，矩阵[A b]的秩都为m3. 设α1,α2,α3是方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为方程组Ax=0的基础解系的是___。
D、α1+α2,α1-α2,α3?100210001??,则用P左乘A，相当于将A___。
A、第1行的4. 设A为3阶矩阵,P =?2倍加到第2行?x1?2x2?3x3?0??x+x?x4= 05. 齐次线性方程组?23的基础解系所含解向量的个数为___。
B、26. 设4阶矩阵A的秩为3，?1，?2为非齐次线性方程组Ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为___。