第五章 相似矩阵与二次型§5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝2(1)(2)λλλ--2.设0是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 01020101A 的特征值，则=a 13.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。

5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） 二、选择题1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1A -有一个特征值等于（ C ）A 、2；B 、-2;C 、12; D 、-12; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）A 、充分条件；B 、充要条件;C 、必要条件;D 、无关条件;三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭解：A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量.当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211p -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量.2.100020012B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=---故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000010010001011000r B E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kp k ≠是11λ=的全部特征向量.当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000010010000rB E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001p ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，故2(0)kp k ≠是232λλ==的全部特征向量.四、设α为n 维非零列向量，证明：α是矩阵Tαα的特征向量， 并求α对应的特征值.证明：因为()(),0TTTαααααααααα==≠；所以，α是矩阵Tαα的特征向量，α对应的特征值为T αα。

五、设A 为n 阶方阵，1.当2A E =时，求A 的特征值；2.当mA O =时，求A 的特征值，其中m 为正整数. 证明：1. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，22()()(),0A x A Ax A x Ax x x λλλ====≠又因为2A E =，所以，22,011x x x λλλ=≠⇒=⇒=±即当2A E =时，A 的特征值为1或-1。

2. 设A 的特征值为λ，则,0Ax x x λ=≠， 所以，111()(),0mm m m m A x AAx A x A x x x λλλ---=====≠L又因为mA O =，所以，0,000mmx x λλλ=≠⇒=⇒=即当m A O =时，A 的特征值为0。

§5-2相似矩阵§5-3对称矩阵的相似矩阵一、填空题1.若ξ是矩阵A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量. 2.若A,B 相似，则||||A B -= 03.已知20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 14.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果A 是实对称矩阵，则结论 对（对，不对）.二、选择题1.n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量.2.方阵A 与B 相似，则必有（ B D ）（A ）E A E B λλ-=- （B ）A 与B 有相同的特征值 （C ）A 与B 有相同的特征向量 （D ）A 与B 有相同的秩 3. A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ） ||0A >（C ）A 必有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数.三、设100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求mA .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=---故A 的所有特征值为1233,1λλλ===. 当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1ξ即为对应于13λ=的特征向量.当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,ξξ为231λλ==的特征向量.显然，123,,ξξξ线性无关.令()123010,,101101P ξξξ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则010********/21/2(|)10101001010010100100101/21/2P E ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:101/21/210001/21/2P -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭11131110013130221313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫⎪=Λ= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪+-+ ⎪⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪-++ ⎪⎪⎝⎭（或:令3121231230011/,0,1/ ||||||||||||1/1/ p p pξξξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪======-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎭令()123,,P p p p=，则1TP P-=所以，。

）四、三阶实对称矩阵A的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的特征向量为1111p⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A为三阶实对称矩阵，故A有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交.已知对应于1λ=的特征向量为1p，设对应于232λλ==的特征向量为23,p p，则12130,0T Tp p p p==.即23,p p为齐次线性方程组1Tp x=的两个线性无关的解.由1Tp x=得123x x x++=取23111,001p p--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,p p即为232λλ==的特征向量.令2233k p k pξ=+（23,k k不全为零）为对应于232λλ==的全部特征向量.五、设三阶方阵A的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别为1231222,2,1212p p p-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求矩阵A.解：因为123λλλ≠≠，故A可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,p p p线性无关.由特征值定义，()()111222333123112233,,,,,,Ap p Ap p Ap pA p p p p p pλλλλλλ===⇒=()()112312323,,,,A p p p p p p λλλ⎛⎫⎪⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 令()123,,P p p p =1AP P A P P -⇒=Λ⇒=Λ 由()12213312212210012|22100001003321221200122033221331203322033rP E P -⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭:故1112310122133102102121201001233320222022033A P P P Pλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭§5-4 二次型及其标准形§5-5 用配方法化二次型为标准形 §5-6 正定二次型一、填空题1.22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 2.123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数.3.设21101000A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 为正定矩阵，则k 1>.二、单项选择题1.设100210,2005A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则与A 合同的矩阵是（ B ）。

（A ）100020001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （B ）300020005⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （C ）100010001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （D ）200020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.二次型f x Ax T=为正定二次型的充要条件是（D ）。

（A ）0A > （B ）负惯性指数为0 （C ）A 的所有对角元0ii a > （D ）A 合同于单位阵E3.当(,,)a b c 满足（ C ）时，二次型22212312313(,,)2f x x x ax bx ax cx x =+++为正定二次型。

（A ）0,0a b c >+> （B ）0,0a b >> （C ）,0a c b >> （D ）,0a c b >>三、设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A .2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1.212312331223313122222331112323001(,,)(,,)300430(34,3,)343100(,,)032023x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎪⎝⎭=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.2100032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=---故A 的特征值为1231,5λλλ===. 当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,1/01/p p ξξξξ⎛⎫⎛⎫⎪====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:. 取3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得33301/1/p ξξ⎛⎫ == ⎝.令()123,,P p p p =，则1115TP AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四、已知,A B 都是n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00TTTx Ax x Bx xA B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵.故A B +的特征值全部大于零.五、已知A 为n 阶正定矩阵，证明||1A E +>. 证明：因为A 为n 阶正定矩阵， 所以A 的所有特征值：12,,,n λλλL 都大于零。